已知函数f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围（

已知函数f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，求实数a的取值范围（　　）A．（-∞，1）B．（-∞，2）C．（-∞，1]D．（-∞，2]

∵f（x）=x2+2x+alnx（a∈R）．
当t≥1时，不等式f（2t-1）≥2f（t）-3恒成立，
∴2t2-4t+2≥alnt2-aln（2t-1）
∴2t2-alnt2≥2（2t-1）-aln（2t-1）
令h（x）=2x-alnx（x≥1），则问题可化为h（t2）≥h（2t-1）
∵t≥1，∴t2≥2t-1
要使上式成立，只需要h（x）=2x-alnx（x≥1）是增函数即可
即g′（x）=2-
a
x ≥0在[1，+∞）上恒成立，
即a≤2x在[1，+∞）上恒成立，故a≤2
∴实数a的取值范围是（-∞，2]．
故选D．

t≥1时,不等式f(2t-1)≥2f(t)-3 恒成立 <=>f(2t-1)-2f(t)+3≥0 恒成立 <=>2t^2-4t+aln((2t-1)/t^2)-2a+3≥0 恒成立 a[ln((2t-1)/t^2)-2]≥-2t^2+4t-4 易知(2t-1)/(t^2)=1/t*(2-1/t)≤1 故ln((2t-1)/t^2)-2≤-2 a[ln((2t-1)/t^2)-2]≥-2t^2+4t-4 <=>a≤(-2t^2+4t-4)/[ln((2t-1)/t^2)-2] 设g(t)=(-2t^2+4t-4)/[ln((2t-1)/t^2)-2] g'(t)=4(1-t)[ln(2t-1)-2lnt-2+(t^2-2t+2)/(2t^2-t)]/[ln((2t-1)/t^2)-2]^2 设h(t)=4(1-t)[ln(2t-1)-2lnt-2+(t^2-2t+2)/(2t^2-t)] 则g'(t)=h(t)/[ln((2t-1)/t^2)-2]^2 h'(t)=4((1-2t)^2t^2(2lnt-ln(2t-1))+(x(10(x-1)x-7)+10)x-2)/[(1-2x)^2x^2]≥0 故h(t)≥h(1)=0 g'(t)=h(t)/[ln((2t-1)/t^2)-2]^2≥0 t≥1时g(t)单调增 g(t)≥g(1)＝1 若a≤g(t)在t≥1时恒成立，则a小于g(t)在[1, +∞)上最小值 故a≤g(1)＝1 故a取值范围 (-∞, 1]

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