已知直角三角形ABC的周长为2,求三角形ABC的面积S的最大值

已知直角三角形ABC的周长为2,求三角形ABC的面积S的最大值

设两个直角边是a和b,斜边是c,则
a+b+c=2
a²+b²=c²
(a+b)=(2-c)
根据均值不等式,得
[(a+b)/2]²≤(a²+b²)/2
即(2-c)²/4≤c²/2
4+c²-4c≤2c²
c²+4c-4≥0
∴c≥-2+2√2或c≤-2-2√2
∵c是正数,
∴c≥-2+2√2
(a+b)²=(2-c)²
a²+b²+2ab=c²+4-4c
ab=2-2c
S=ab/2=1-c≤1-(-2+2√2)=3-2√2
此即所求的最大值

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