怎样做出费马点

怎样做出费马点

若有一个内角大于等于120度，就是这个顶点。
若没有的话，就是到三边张角均为120度的角。 你可以用尺规在一个边AB外做一个正三角形。找出它的重心（AB边中线距顶点2/3处）。以这点为圆心，过A,B两点做圆，同理作BC,CA边的圆，交点即为费马点。

费马问题)在三角形ABC内找一点P，使其到三个顶点的距离和是最小。（P称为费马点）
这是费马给伽利略的学生和助手托里析利（E. TOrricelli 1608～1647）考虑的一个几何难题。
托里析里在对物体运动，流体力学及大气压力有研究，他发明水银柱气压计，由此证明大气是有压力。他对费马的这个问题给出了几何解决方法，先来介绍五十多年前一位英国人霍夫曼（J.E. Hofmann）以及匈牙利数学家笛波·伽累依（Tibor Gallai）先后想出同样的一个解决方法。霍夫曼及伽累依是怎样考虑费马的问题呢？
先假设△ABC没有一个角大于120°。在△ABC内任取一点P，如图，向外作一正△PBP' 与C隔于BP，作正△ABC′ 与C隔于AB，容易看出，∠1=∠2，A'B=AB，P'B=PB，则△APB≌△A'BP'，进而PA=P'A'。即PA+PB+PC=P'A'+P'P+PC。A'和C是定点，若要使距离和最小，则需要P'P在A'C上。此时，∠3=180-60=120，则∠4=∠3=120。同理可证其余各角都是120。
这就导出一则画法：向△ABC外作正△ABA'，作其外接圆交A'C于P，P就是费马点。
又或者向△ABC外任作两正△,把它的顶点连接相对的三角形顶点,产生的2条连线交点为费马点.
以下是托里析利的方法：以AB，AC为边向外作两个正三角形其外接圆交于A和P。过A的PA的垂线、过B的PB的垂线、过C的PC的垂线交成△XYZ，如图。按作图方法知道∠APB=120，但∠PBX=∠PAX=90，于是∠X=60，同理∠Y=∠Z=60，则△XYZ是等边三角形。假定有一个不与P重合的点P'，过P'向这个等边三角形引垂线P'A'、P'B'、P'C'，注意到直角三角形斜边大于直角边，又考虑一下维维亚尼定理(正三角内的点到三边距离之和为定值)，于是
P'A +P'B +P'C
>P'A'+P'B'+P'C'
=PA +PB +PC
其最小性得证。于是也导出一种画法：以AB、BC为边向外作一个正三角形，再作其外接圆，两个圆就交于费马点。很巧在托里析利 300 年后的匈牙利著名数学家李兹（ Frederick Riesz ）也给出同样的方法

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