四边形ABCD是正方形，△BEF是等腰直角三角形，∠BEF=90°，BE=EF，连接DF，G为DF的中点，连接EG，CG，EC

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解决时间 2021-04-03 07:03

提问者网友：城市野鹿
2021-04-02 10:35

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五星知识达人网友：上分大魔王
2021-04-02 10:59

（1）EG⊥CG，；（2）结论还成立，证明见解析；

试题分析：（1）过G作GH⊥EC于H，推出EF∥GH∥DC，求出H为EC中点，根据梯形的中位线求出EG=GC，GH= （EF+DC）= （EB+BC），推出GH=EH=BC，根据直角三角形的判定推出△EGC是等腰直角三角形即可.
（2）延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，证△EFG≌△HDG，推出DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG，求出∠EBC=∠HDC，证出△EBC≌△HDC，推出CE=CH，∠BCE=∠DCH，求出△ECH是等腰直角三角形，即可得出答案.
（3）连接BD，求出，推出∠DBE=60°，求出∠ABF=30°，解直角三角形求出即可．
试题解析：（1）EG⊥CG，，理由是：
如图1，过G作GH⊥EC于H，
∵∠FEB=∠DCB=90°，∴EF∥GH∥DC.
∵G为DF中点，∴H为EC中点.
∴EG=GC，GH= （EF+DC）= （EB+BC），即GH=EH=BC.
∴∠EGC=90°，即△EGC是等腰直角三角形.
∴

（2）结论还成立，证明如下：
如图2，延长EG到H，使EG=GH，连接CH、EC，过E作BC的垂线EM，延长CD，
∵在△EFG和△HDG中，GF＝GD，∠FGE＝∠DGH，EG＝HG，∴△EFG≌△HDG（SAS）.
∴DH=EF=BE，∠FEG=∠DHG.∴EF∥DH.
∴∠1=∠2=90°-∠3=∠4.∴∠EBC=180°-∠4=180°-∠1=∠HDC.
在△EBC和△HDC中，BE＝DH，∠EBC＝∠HDC，BC＝CD，∴△EBC≌△HDC．
∴CE=CH，∠BCE=∠DCH.
∴∠ECH=∠DCH+∠ECD=∠BCE+∠ECD=∠BCD=90°.
∴△ECH是等腰直角三角形，
∵G为EH的中点，
∴EG⊥GC，，即（1）中的结论仍然成立.

（3）如图3，连接BD，
∵AB= ，正方形ABCD，∴BD=2.∴ .
∴∠DBE=60°.∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=15°.∴∠ABF=45°-15°=30°.
∴ .∴DE= BE= .
∴DF=DE-EF= .

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