解答题已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0

解答题 已知函数f（x）对任意实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＞0，f（-1）=-2．
（1）求f（0）；
（2）求证f（x）为奇函数；
（3）f（x）在[-2，1]上的值域．

解：（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），
∴f（0）=0
（2）令y=-x，得f（-x+x）=f（x）+f（-x）
即f（0）=f（x）+f（-x）
∴f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x）
因此f（x）为R上的奇函数，
（3）设x1，x2∈R，且x1＜x2，则x2-x1＞0，
∵当x＞0时，f（x）＞0
∴f（x2-x1）＞0
又∵f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）
∴f（x2）-f（x1）＞0，可得f（x1）＜f（x2）
∴f（x）为奇函数
∴f（1）=-f（-1）=2，f（-2）=2f（-1）=-4
∵f（x）为R上的增函数，
∴当-2≤x≤1时，f（-2）≤f（x）≤f（1），
即函数在[-2，1]上的值域为[-4，2]解析分析：（1）取x=y=0，即可证得f（0）=0；（2）取y=-x，可得f（0）=f（x）+f（-x），再结合（1）中f（0）=0，得到f（x）+f（-x）=0，即f（-x）=-f（x），所以f（x）为R上的奇函数；（3）利用单调性的定义，可以证出f（x）为R上的增函数．再结合函数为奇函数，不难得到函数的值域为[-4，2]．点评：本题以抽象函数为例，求函数的单调性的奇偶性，着重考查了函数的简单性质和函数的值域求法等知识点，属于中档题．

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