高等数学：第一、二类曲线积分

1、L为直线2x+3y-6=0在第一象限的部分,求∫Lln(8+4x+6y)ds2、L为x^2+y^2=1上从点A(1,0)到B(0,1)在第一象限内一段弧,则∫Lxln(1+x^2+y^2)dx+yln(1+x^2+y^2)dy=

1、 L为直线 2x+3y-6=0 在第一象限的部分,
∫<L>ln(8+4x+6y)ds = ∫<0,3>ln(8+12)*√[1+(-2/3)^2]dx = √13ln20.
2、 L为 x^2+y^2=1 上从点 A(1,0) 到 B(0,1) 在第一象限内一段弧,
设 x = cost, y=sint , 0 ≤ t ≤ π/2 , 则
∫<L> xln(1+x^2+y^2)dx+yln(1+x^2+y^2)dy
= ∫<0,π/2> [costln2(-sint)+sintln2cost]dt = 0

对弧长的曲线积分(第一类曲线积分):设L为xOy平面上的一条光滑的简单曲线弧,f(x,y)在L上有界，在L上任意插入一点列M1,M2,M3…,Mn 把L 分成 n个小弧段ΔLi的长度为ds，又Mi(x,y)是L上的任一点，作乘积f(x,y)i*ds,并求和即Σ f(x,y)i*ds，记λ=max(ds) ，若Σ f(x,y)i*ds的极限在当λ→0的时候存在，且极限值与L的分法及Mi在L的取法无关，则称极限值为f(x,y)在L上对弧长的曲线积分，记为:∫f(x,y)*ds ;其中f(x,y)叫做被积函数，L叫做积分曲线，对弧长的曲线积分也叫第一类曲线积分。 对坐标轴的曲线积分(第二类曲线积分) 两种曲线积分的区别主要在于积分元素的差别;对弧长的曲线积分的积分元素是弧长元素ds;例如:对L的曲线积分∫f(x,y)*ds 。对坐标轴的曲线积分的积分元素是坐标元素dx或dy，例如:对L'的曲线积分∫P(x,y)dx+Q(x,y)dy。但是对弧长的曲线积分由于有物理意义，通常说来都是正的，而对坐标轴的曲线积分可以根据路径的不同而取得不同的符号。 对弧长的曲线积分和对坐标轴的曲线积分是可以互相转化的，利用弧微分公式ds=√[1+(dy/dx)^2]*dx; 或者ds=√[1+(dx/dy)^2]*dy;这样对弧长的曲线积分都可以转换成对坐标轴的曲线积分了。 在曲线积分中，被积的函数可以是标量函数或向量函数。积分的值是路径各点上的函数值乘上相应的权重(一般是弧长，在积分函数是向量函数时，一般是函数值与曲线微元向量的标量积)后的黎曼和。带有权重是曲线积分与一般区间上的积分的主要不同点。物理学中的许多简单的公式(比如说)在推广之后都是以曲线积分的形式出现( )。曲线积分在物理学中是很重要的工具，例如计算电场或重力场中的做功，或量子力学中计算粒子出现的概率。

∫<L>ln(8+4x+6y)ds = ∫<0,3>ln(8+12)*√[1+(-2/3)^2]dx = √13ln20. 2、 L为 x^2+y^2=1 上从点 A(1,0) 到 B(0,1) 在第一象限内一段弧, 设 x = cost, y=sint , 0 ≤ t ≤ π/2 , 则 ∫<L> xln(1+x^2+y^2)dx+yln(1+x^2+y^2)dy = ∫<0,π/2> [costln2(-sint)+sintln2cost]dt = 0

从概念上讲，第一类的，都是和方向无关的，对标量的积分。第二类的，都是和方向有关的，对某种意义上的矢量的积分。具体地说：第一类曲线积分是对长度的积分，第二类曲线积分是对坐标的积分，讲究曲线上演某方向的变化了。第一类区面积分，是对面积的积分，第二类区面积分是对二维坐标的积分，强调面积朝向某侧的情况。 从计算上讲，第一类的计算要求出长度或者面积微元的表示式，因此计算公式似乎复杂，但是记住公式之后，因为不用考虑方向，因此实际上简单。第二类的，不用考虑微元的表示式，直接就是对坐标积分，形式上简单，不过，在具体到某个线或者面的时候，要考虑是否要根据方向的变化分成不同的小段，在每个方向一致的小段上，还要考虑正负号，是否为零等等，实际上相对麻烦许多。 关于这两类积分（实际上是四类，不过我的称呼是分别针对面，线来说）实际上都有统一的公式。两类曲线积分可以通过方向余弦实现统一。两类区面积分可以通过切面的法向量方向余弦实现统一。 此处的学习重点除了上述内容之外，要特别注意 格林公式，高斯公式，斯托克斯公式，拉普拉斯算子，拉普拉斯反算子。这些在某些专业中应用更广泛。

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