某地区试行高考考试改革:在高三学年中举行5次统一测试,学生如果通过其中2次测试即可

某地区试行高考考试改革：在高三学年中举行5次统一测试，学生如果通过其中2次测试即可获得足够学分升上大学继续学习，不用参加其余的测试，而每个学生最多也只能参加5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是1/3，每次测试时间间隔恰当，每次测试通过与否互相独立．规定 若前四次没有通过测试，则第五次不能参加测试

如果考上大学或者参加五次测试就结束，记该生参加测试次数为ζ，求ξ的分布列？

注:以下C(m,n)是Cmn，即从m个中选n个的意思。

ξ的可能取值为:2,3,4,5.

P(ξ=2)=(1/3)^2=1/9.
上式的解释：只需要两次测试，没测试满，说明该考生考上了大学，故两次均通过了测试。

P(ξ=3)=C(2,1)*(1/3)^2*(2/3)=4/27.
上式的解释：需测试三次，同样没测试满，说明该考生考上了大学，总共通过了两次测试，但显然前两次不可能全部通过测试，前两次中必有一次通过一次不过，而第三次必是通过了测试。

P(ξ=5)=C(4,1)*(1/3)*(2/3)^3*1=32/81.

上式的解释：该考生需测试满，说明前四次不可能通过两次测试，但是也不能一次都不过（因为“若前四次没有通过测试，则第五次不能参加测试”），所以前四次中有且仅有一次通过。第五次可能通过也可能不通过测试，所以最后乘以1.
这里直接跳过ξ取4的情形，因为ξ=4比较复杂些。

P(ξ=4)=1-1/9-4/27-32/81=18/81=28/81.
上式是间接计算法，当然也可以直接算：
P(ξ=4)=[C(3,1)*(1/3)*(2/3)^2*(1/3)]+[(2/3)^4]=28/81.

上式的解释：第二个中括号里计算的是没有考上大学的概率——四次均为通过测试，这个应该好理解。
第一个中括号里计算的是考上大学的概率。说明考生通过两次测试，这两次通过必是前三次中有一次通过，加第四次的通过。

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