椭圆C:x²／a²＋y²／b²＝1﹙a＞b＞0﹚的两个焦点为F1，F2，短轴两个端点为A,B，已知│

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解决时间 2021-12-20 11:47

提问者网友：温旧梦泪无声
2021-12-20 06:26

椭圆C:x²／a²＋y²／b²＝1﹙a＞b＞0﹚的两个焦点为F1，F2，短轴两个端点为A,B，已知│向量OB││向量F1B││向量F1F2│成等比数列，向量F1B*向量F1F2=2，与x轴不垂直的直线l与C交于不同的两点M、N，记直线AM、AN的斜率分别为k1/k2,且k1k2=3／2.
(1)求椭圆C的方程
（2）求证直线l与y轴相交于顶点，并求出顶点坐标
（3）当弦MN的中点P落在四边形F1AF2B内（包括边界）时，求直线l的斜率的取值范围
答案：（1）x²／2＋y²＝1
（2）（0,2）
（3）（-∞，-1-√6／2]∪[-1+√6／2，+∞）
主要解答（2）（3）

sorry,(2)求证直线l与y轴相交于定点，并求出定点坐标

最佳答案

五星知识达人网友：舊物识亽
2021-12-20 06:43

（2）设直线l与y轴交予定点(0,p)则l直线可以写成y=kx+p,代入椭圆方程分别消去x和y得到：
(2k²+1)x²+4kpx+2p²-2=0，(2k²+1)y²-2py+p²-2k²=0
由韦达定理可知：
x1+x2=-4kp/(2k²+1), x1x2=(2p²-2)/(2k²+1), y1+y2=2p/(2k²+1),y1y2=(p²-2k²)/(2k²+1)
(x1,y1)(x2,y2)即MN两点坐标,A点坐标为(0,-1)
AM斜率k1=(y1+1)/x1,AN斜率k2=(y2+1)/x2
k1k2=(y1+1)(y2+1)/x1x2=3/2
代入韦达定理结论化简得：p²-p-2=0
解得p=2或p=-1
当P=-1时，N点与A点重合不符合题意，舍去。
所以p=2
定点坐标为(0,2)
(3) 由韦达定理结论可知MN中点坐标为[-4k/(2k²+1), 2/(2k²+1),]
纵坐标恒大于零，所以只讨论第一、二象限即可。
当MN中点在第二象限时，k>0
F1B方程为y=x+1,代入MN中点坐标1-4k/(2k²+1)=2/(2k²+1),
解得：k=1+√6/2（舍去负根）
当MN中点在第一象限时，k<0
F2B方程为y=1-x,代入MN中点坐标1+4k/(2k²+1)=2/(2k²+1),
k=-1-√6/2
所以K的取值范围是（-∞，-1-√6／2]∪[1+√6／2，+∞）

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1楼网友：逐風
2021-12-20 06:50

(1)不妨设a(0，b),b(0，-b),f1(-c,0),f2(c,0). 则：向量f1b=(c,-b),ob=(0,-b),f1f2=(2c,0) 则由已知|向量ob|,|向量f1b|，|向量f1f2|成等比数列有：|向量f1b|^2=|向量ob|*|向量f1f2|,即：b^2+c^2=b*(2c) ===> b=c 又由向量f1f2*向量f1b=2可得：2c^2=2 ===> c=1 而：a^2=b^2+c^2 联立上述三式可解得：a=√2，b=c=1 椭圆方程为：x^2/2+y^2=1 (2)设m(x1，y1)，n(x2,y2)，则向量am=(x1,y1-1)，an=(x2,y2+1)，由k1*k2=3/2可得： (y1-1)(y2+1)/x1x2=3/2 ---(a) 设直线l方程为：y=kx+m。次问即求证m等于一个定值。与椭圆方程联立消去y化简并整理可得：(2k^2+1)x^2+4kmx+2m^2-2=0 则由韦达定理有：x1+x2=-4km/(2k^2+1) x1*x2=2(m^2-1)/(2k^2+1) 将(a)式中的y用直线方程l中的x代替并化解整理可得： 3x1x2=2*{k^2x1x2+km(x1+x2)+m^2-2+2k√[(x1+x2)^2-4x1x2]} 将韦达定理带入上式可得到一个k与m的关系式（超级复杂，我试了一下也没最后化解出k与m的简单关系），理论上讲在直线l的方程中得到了这个关系式就可以判定l必过的定点坐标。 (3)设m(x1，y1)，n(x2,y2)，因为m和n在椭圆上可得：x1^2/2+y1^2=1 和 x2^2/2+y2^2=1 两式相减可得： (y1-y2)/(x1-x2)=-(1/2)*[(x1+x2)/(y1+y2)] ---(b) 设直线l的方程为：y=kx+m，中点g的坐标为(x0,y0)，则(b)式可化为：k=-(1/2)*x0/y0 ---(c) 中点g在四边形f1af2b内（包括边界）时，就是分别求出线段af1、af2、bf1、bf2的直线方程，分别为：y=x+1，y=-x+1，y=-x-1，y=x-1.由线性规划可知点g(x0,y0)需满足以下不等式组：-1-x0-1，y0>x0-1 整理可得：-1

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