数列题：已知数列｛a(n)｝满足a(1)=3，a(n+1)=2a(n)+1，求数列｛a(n)｝的通项公式

小括号里的是下标

用累积法和累差法怎么做

提示

a(n+1)+1=2[a(n)+1]

所以[a(n+1)+1]/[a(n)+1]=2

且a1+1=4

所以数列{a(n)+1}是以4为首项2为公比的等比数列

所以a(n)+1=4*2^(n-1)=2^(n+1)

所以a(n)=2^(n+1)-1

{a(n+1)}-{a(n)}=2{a(n)}+1-3=2{a(n)}-2

这个数列的递推关系是一个很典型的结构即：a(n+1)=ca(n)+m  其中c、m为常数

改变等式a(n+1)+h=c{a(n)+h}----->a(n+1)+h=ca(n)+ch   比较两式得出h=m/c-1为常数与n无关

设b(n+1)=a(n+1)+h,那么b(n)=a(n)+h---->b(n+1)/b(n)=c    b(1)=a(1)+h    为等比数列

对于该题 h=1   b(1)=4   ----->b(n)=4×2^(n-1)=2^(n+1)---->a(n)=b(n)-h=2^(n+1)-1

累积法：a(n+1)=2a(n)+1---->a(n)=2a(n-1)+1------>a(n-1)=2a(n-2)+1----->...........------>a(2)=2a(1)+1(*式)

所以a(n)=2a(n-1)+1=2[2a(n-2)+1]+1=2^2a(n-2)+2+1........a(n)=2^(n+1)-1

a(n+1)=2a(n)+1

a(n+1)+1=2a(n)+2=2(a(n)+1)

所以an+1是等比数列，且公比是2，首项是4

那么an+1=4*2^(n-1)=2^(n+1)

an=2^(n+1)-1