设f(x)在[a,b]上连续,且a<c<d<b,证明:对任何整数p,q至少存在一点ζ∈(a,b),使得pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ζ)
答案:2 悬赏:70 手机版
解决时间 2021-11-20 07:26
- 提问者网友：两耳就是菩提
- 2021-11-19 17:58
设f(x)在[a,b]上连续,且a<c<d<b,证明:对任何整数p,q至少存在一点ζ∈(a,b),使得pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ζ)
最佳答案
- 五星知识达人网友：第幾種人
- 2021-11-19 19:11
本题是对于任何正整数p,q,否则有问题.
构造函数g(x)=pf(c)+qf(d)-(p+q)f(x).
当f(c)=f(d)时,g(c)=0,所以存在一点ζ=c,使得pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ζ).
当f(c)≠f(d)时,g(c)g(d)=pq(f(c)-f(d))(f(d)-f(c))<0.所以函数g(x)至少存在一点ζ∈(a,b),使得g(ζ)=0. 即至少存在一点ζ∈(a,b),使得pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ζ).
构造函数g(x)=pf(c)+qf(d)-(p+q)f(x).
当f(c)=f(d)时,g(c)=0,所以存在一点ζ=c,使得pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ζ).
当f(c)≠f(d)时,g(c)g(d)=pq(f(c)-f(d))(f(d)-f(c))<0.所以函数g(x)至少存在一点ζ∈(a,b),使得g(ζ)=0. 即至少存在一点ζ∈(a,b),使得pf(c)+qf(d)=(p+q)f(ζ).
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- 1楼网友：归鹤鸣
- 2021-11-19 19:40
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