如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC

如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC

如图（1），P为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P叫做△ABC的费马点．如图（2），在锐角△ABC外侧作等边△ACB′连接BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=PA+PB+PC．(图2)证明：在BB′上取点P，使∠BPC=120°，连接AP，再在PB′上截取PE=PC，连接CE，∵∠BPC=120°，∴∠EPC=60°，∴△PCE为正三角形，∴PC=CE，∠PCE=60°，∠CEB′=120°，∵△ACB′为正三角形，∴AC=B′C，∠ACB′=60°，∴∠PCA+∠ACE=∠ACE+∠ECB′=60°，∴∠PCA=∠ECB′，∴△ACP≌△B′CE，∴∠APC=∠B′EC=120°，PA=EB′，∴∠APB=∠APC=∠BPC=120°，∴P为△ABC的费马点，∴BB′过△ABC的费马点P，且BB′=EB′+PB+PE=PA+PB+PC．======以下答案可供参考======供参考答案1:第一个问题：过A作PB的垂线，垂足为D。∵P是△ABC的费马点，∴∠APB＝120°，∴点D在BP的延长线上，∴∠APD＝60°，∴AD＝（√3/2）PA＝2√3。第二个问题：∵P是△ABC的费马点，∴∠APB＝∠APC＝120°。∵△ACB′是△ABC外的一个正三角形，∴∠ACB′＝∠AB′C＝60°，∴∠APC＋∠AB′C＝180°，∴A、P、C、B′共圆，∴∠APB′＝∠ACB′＝60°，∴∠APB＋∠APB′＝180°，∴B、P、B′共线，∴BB′过△ABC的费马点。第三个问题：在BB′上取一点E，使PE＝PC。∵PE＝PC、∠CPE＝∠APC－∠APB′＝120°－60°＝60°，∴△PCE是正三角形，∴∠PCE＝∠PEC＝60°、PC＝PE＝EC。∵△ACB′是正三角形，∴AC＝B′C。∵∠PEC＝60°，∴∠B′EC＝120°，∴∠APC＝∠B′EC。又∠ACP＝∠PCE－∠ACE＝60°－∠ACE＝∠ACB′－∠ACE＝∠B′CE。∴由AC＝B′C

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