设x1，x2,x3是方程x^3-x+1＝0的三个根，则x1^5+x2^5+x3^5的值为

设x1，x2,x3是方程x^3-x+1＝0的三个根，则x1^5+x2^5+x3^5的值为

-5
由韦达定理：x1+x2+x3=0,x1x2+x1x3+x2x3=-1,x1x2x3=-1
又x^3-x+1=0,所以x^5=x^2x^3=x^2（x-1)=x^3-x^2=x-1-x^2

所以x1^5+x2^5+x3^5=x1+x2+x3-x1^2-x2^2-x3^2-3
=0-((x1+x2+x3)^2-2(x1x2+x1x3+x2x3))-3
=0-(0+2)-3
=-5

(2012全国高中数学联赛湖北省预赛试题(高一)第8题）

-2

x1，x2，x3是方程x³+px+q=0的三个根。 证明：x1+x2+x3=0

解： ∵ x1，x2，x3是方程x³+px+q=0的三个根 ∴ (x-x1)(x-x2)(x-x3)=0 展开， [x²-(x1+x2)x+x1x2](x-x3)=0 x³-(x1+x2+x3)x²+(x1x2+x2x3+x1x3)x-x1x2x3=0 与x³+px+q=0对比， 由恒等多项式定理，可知： -(x1+x2+x3)=0 ∴ x1+x2+x3=0

x1,x2,x3是x^3-x+1=0的根，则适合x^3=x-1; 又依据高次方程根与系数关系：x1+x2+x3=0,x1x2+x2x3+x3x1=-1,x1x2x3=-1; x1^2+x2^2+x3^2=(x1+x2+x3)^2-2(x1x2+x2x3+x3x1)=0-2*1=-2; x1^5+x2^5+x3^5 =(x1-1)x1^2+(x2-1)x2^2+(x2-1)x3^2 =x1^3+x2^3+x3^3-(x1^2+x2^2+x3^2) =x1^3+x2^3+x3^3-3x1x2x3-(x1^2+x2^2+x3^2)+3x1x2x3 =（x1+x2+x3)(x1^2+x2^2+x3^2-x1x2-x2x3-x3x3)--(x1^2+x2^2+x3^2)+3x1x2x3 =1-3 =-2

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