设数列an中的前n项的和为Sn,并且a1=1,Sn+1=4an+2，设bn=an比2的n次方，求证数列bn为等差数列

设数列an中的前n项的和为Sn,并且a1=1,Sn+1=4an+2，设bn=an比2的n次方，求证数列bn为等差数列

因为S（n+1）=4an+2 一式
n>=2时，Sn=4a(n-1)+2 二式
所以一式减二式，得 a(n+1)=4an-4a(n-1)
（目标是a(n+1)+m*an=K(an+m*a(n-1)),所以构建等比数列如下）
a(n+1)=(K-m)an=K(an+m*a(n-1))
可得K-m=4 m*k=-4
所以K=2,m=-2
所以a(n+1)-2an=2*(an-2a(n-1))
所以an-2*a(n-1)是一个以2为公比的等比数列
则an-2*a(n-1)=(a2-2*a1)*2^(n-2)
当n=1时，a1+a2=4(a1)+2
所以a2=5
an-2*a(n-1)=3*2^(n-2) 同除以2
得an/2^n-2*a(n-1)/2^n=(3*2^(n-2))/2^n=3/4
设bn=an比2的n次方
即bn-b(n-1)=3/4
所以数列bn是一个以3/4为公差的等差数列
即得证

n大于等于2时 an=sn-sn-1 =4(an-1 - an-2) an 1=4an - 4an-1 an 1 - 2an=2an - 4an-1 =2(an - 2an-1) 所以an 1-2an/an - 2an-1=2 所以{an 1-2an}是等比数列,既bn是等比数列. (2) n=1时,s2=4a1 2 a1 a2=4a1 2 a1=1,解的a2=5 b1=a2-2a1=3 所以bn是以3为首项,2为公比的等比数列 bn=3(2^n - 1)

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