f(x)在[a,+∞)上连续,且limx→∞f(x)存在证明其一致连续

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解决时间 2021-12-28 09:51

提问者网友：嘚啵嘚啵
2021-12-27 17:10

最佳答案

五星知识达人网友：罪歌
2021-12-27 17:16

设limf﹙x﹚＝A ﹙x趋于无穷大﹚
∴任意ε 存在X＞A 当x＞X时｜f﹙x﹚－A｜＜ε/4 ∴对任意x₁、x₂∈﹙X，﹢∞﹚ 有｜f﹙x₁﹚－f﹙x₂﹚｜≤｜f﹙x₁﹚－A｜＋｜f﹙x₂﹚－A｜＜ε/2
由康托定理 f﹙x﹚在[a，X]一致连续因而存在δ＜X－a 使｜x₁－x₂｜＜δ，x₁，x₂∈[a，X]时｜f﹙x₁﹚－f﹙x₂﹚｜＜ε/2
从而对任意x₁，x₂∈[a，﹢∞﹚只要｜x₁－x₂｜＜δ 就有｜f﹙x₁﹚－f﹙x₂﹚｜＜ε/2＋ε/2＝ε
∴其一致连续

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1楼网友：琴狂剑也妄
2021-12-27 17:38

因为lim(x->+∞)f(x)存在，不妨令其为a 则根据极限定义，对ε=1，存在正数d>0，使对任意x>d，有|f(x)-a|<1 即a-1

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f(x)在[a,+∞)上连续,且limx→∞f(x)存在 证明其一致连续

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