初三数学相似三角形 求解

在直角三角形ABC中，CD 是斜边AB上的高，三角形 ACD和三角形CBD的面积之比为4比9，AC=6，求三角形 ABC的面积和周长.

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由三角形 ACD和三角形CBD的面积之比为4比9可得AD：BD=4：9

即AD=4/9BD，或BD=9/4AD

因为△ACD与△CBD相似，所以CD：AD=BD：CD，得CD^2=AD*BD=4/9BD*BD=4/9BD^2，解得CD=2/3BD，也可以得到CD=3/2AD

在直角△ACD中，AC^2=CD^2+AD^2=(3/2AD)^2+AD^2，即AC^2=13/4AD^2=36，得AD=12√13/13

所以CD=18√13/13，BD=27√13/13，AB=AD+BD=12√13/13+27√13/13=3√13

在直角△ABC中，BC^2=AB^2-AC^2=(3√13)^2-6^2，BC=9

所以直角△ABC的面积=1/2AC*BC=1/2*6*9=27

周长=AC+BC+AB=9+6+3√13=15+3√13

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