如图，抛物线y=ax^2+bx+c经过A（-1,0）B（3,0）C（0,3）三点，对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于M

如图，抛物线y=ax^2+bx+c经过A（-1,0）B（3,0）C（0,3）三点，对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于M。
连接CP，在第一象限的抛物线上是否存在一点R，使△RPC与△RMB面积相等，若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由。

如图，抛物线y=ax^2+bx+c经过A（-1,0）B（3,0）C（0,3）三点，对称轴与抛物线交于点P，与直线BC相交于M，连接CP，在第一象限的抛物线上是否存在一点R，使△RPC与△RMB面积相等，若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由。
解析：∵抛物线f(x)=ax^2+bx+c经过A（-1,0）B（3,0）C（0,3）三点
∴c=3，f(-1)=a-b+3=0，f(3)=9a+3b+3=0
二式联立解得a=-1,b=2
∴f(x)=-x^2+2x+3=-(x-1)^2+4==>P(1,4)
∵直线BC: y=-x+3
∴M(1,2)
设在第一象限的抛物线上存在一点R(x,y)，使S(⊿CRP)= S(⊿MBR)
S(⊿CRP)=1/2(x-y+3)=S(⊿MBR)=1/2(2x+2y-6)
x+3y-9=0 （1）
y=-x^2+2x+3 （2）
(2)代入(1)得-3x^2+7x=0==>x1=7/3，x2=0(舍)
∴R(7/3,20/9)

这里提供一个已知三角形三顶点坐标，计算面积的公式：
| 1 1 1 |
S=1/2|x1 x2 x3|
|y1 y2 y3|
注意三个顶点为一定要逆时针顺序排列

易求得抛物线方程为y=－(x－1)∧2＋4 设R(x0，y0)R到CP距离为(x0－y0＋3)/√2，到BM距离为(x0＋y0－3)/√2 由于面积相等，所以(x0－y0＋3)/√2×√2=(x0＋y0－3)/√2 ×2√2，解得x0＋3y0=9 又有R在抛物线上，代入得x=0或7/3，所以R(7/3，20/9)

抛物线过c(0,3)点，则c=3，过a(-1,0)，则0=a-b+3，过b(3,0)，则0=9a+3b+3，解得a=-1，b=2 即抛物线方程为y=-x²+2x+3 1)点p(1,4)，直线bc方程为：y=-x+3    一般式为x+y-3=0   则点p到直线bc的距离d=|1+4-3|/√(1²+1²)=√2   设与直线bc平行且距离为√2的直线方程为x+y+m=0，即有：|m+3|/√2=√2   得m=-1或m=-5  联立y=-x²+2x+3与x+y-1=0得交点q坐标为±((3+√17)/2,(-1-√17)/2)  联立y=-x²+2x+3与x+y-5=0得交点q3坐标为(1,3)，其中另一个交点就是p(1,4) 因为此时s△qmb与△pmb是共底边mb，又p及q点到底边距离都为√2，故有这两个三角形面积相等。 2)△rpm与△rmb有公共边rm，则若p和b到直线rm的距离相等，则两三角形以rm为底边的高相等，则面积相等。 设pb中点为n，则坐标n(2,2)， m(1,2)，此时由于必有p和b到直线mn的距离相等 故mn直线方程为：y=2   y=2与y=-x²+2x+3的解x=1±√2  ，即r(1±√2,2)都在x轴上方，满足条件.

1）因为抛物线过（-1，0）、（3，0），因此设解析式为 y=a(x+1)(x-3) ， 将 x=0 ，y=3 代入可得 3= -3a ，解得 a= -1 ， 因此抛物线解析式为 y= -(x+1)(x-3)= -x^2+2x+3 。 （2）因为抛物线对称轴为 x=1 ，所以 D 坐标为（2，3）， 由于 CD//AB ，且 CD=2 ，AB=4 ，高 h=3 ，所以 SABDC=(2+4)*3/2=9 。 （3）容易求得 E（1，2）。设 F（0，b），由于 ∠ABC=∠ECF=45°， 所以，当 BA/BC=CE/CF 或 BA/BC=CF/CE 时，两个三角形相似， 则 4/(3√2)=√2/CF 或 4/(3√2)=CF/√2 ， 解得 CF=3/2 或 4/3 ， 因此由 3-b=3/2 或 3-b=4/3 得 b=3/2 或 b=5/3 ， 即 F 坐标为（0，3/2）或（0，5/3）。

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