有关四面体的性质

有关四面体的性质

四面体作为最简单、最基本的几何体，了解它的性质是必要的．与四面体关系密切的多面体是其外接平行六面体(过四面体三组对棱所作的三组平行平面围成的平行六面体)，通过外接平行六面体，可以得出四面体下面的(1)，(2)性质．由反证法等，还可以得到下面的(3)，(4)等性质．　　(1)四面体各棱长的平方和，等于三组对棱中点连线的平方和的四倍；　　(2)四面体四中线(连四面体各顶点与其对面重心的线段)交于一点，这点称为四面体的重心，重心分各中线从顶点算起的两部分之比为3∶1．　　(3)任何一个四面体总有一个端点，从这个端点发出的三条棱为三边可以作成一个三角形；　　(4)除四面体外，不存在任何一种凸多面体，它的每一个顶点和所有其余的顶点之间都有棱相连接；　　(5)若四面体四个面的面积相等，则四面体的对棱分别相等(对棱分别相等的四面体称为等腰四面体或等面四面体)；　　(6)若四面体的外接球球心与内切球球心重合，则四面体的对棱分别相等；　　(7)若四面体的两组对棱互相垂直(有两组对棱互相垂直的四面体称为重心四面体或正交四面体)，则第三组对棱也互相垂直；　　(8)若四面体的两组对棱互相垂直，则三组对棱中点连线(段)都相等

当正四面体的棱长为a时，一些数据如下： 　　高：√6a/3。中心把高分为1:3两部分。 　　表面积：√3a^2 　　体积：√2a^3/12 　　对棱中点的连线段的长：√2a/2 　　外接球半径：√6a/4，正四面体体积占外接球体积的2*3^0.5/9*π，约12.2517532%。 　　内切球半径：√6a/12，内切球体积占正四面体体积的π*3^0.5/18，约30.2299894%。 　　棱切球半径：√2a/4. 　　两条高夹角：2arcsin(√6/3)=arccos(-1/3)=≈1.91063 32362 49(弧度)或109°28′16″39428 41664 889。这一数值与三维空间中求最小面有关,也是蜂巢底菱形的钝角的角度. 　　两邻面夹角：2arcsin(√3/3)=arccos(1/3)≈1.23095 94173 4077(弧度)或70°31′43″60571 58335

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