球高二不等式解法

1.某种汽车购买时的费用是10万元，每年的保险费，养路费及汽油费合计9000元，汽车的维修费平均为第一年2000元，第二年4000元，第三年6000元，依等差数列逐年递增，为这种汽车使用多少年时，它的年平均费用最小，最小值为多少。

2.求证：a^4+b^4+c^4≥a²b²+b²c²+c²a²≥abc(a+b+c)

3.设x>0，y﹥0，且x²+y²=1,则x根下（1+y²）的最大值为

4.已知4a²+9b²=1，求2a+3b与a+b的最大值

1.设汽车使用n年的总费用为y万元

则y=10+0.9n+0.2n+n(n-1)/2×0.2=0.1n²+n+10

则汽车年平均使用费用M为：

M=y/n=10/n+0.1n+1≥2√{[(10/n)×0.1n]+1}=3

当且仅当10/n=0.1n

即n=10时，M_min=3(万元)

∴该汽车使用10年报废最合算

2.a^4+b^4+c^4=1/2(a^4+b^4+a^4+c^4+b^4+c^4)
≥1/2(2a²b²+2a²c²+2b²c²)

=a²b²+a²c²+b²c²
=1/2(a²b²+a²c²+a²b²+b²c²+a²c²+b²c²)
=1/2(a²(b²+c²)+b²(a²+c²)+c²(a²+b²))
≥1/2(a²×2bc+b²×2ac+c²×2ab)
=a²bc+b²ac+c²ab
=abc(a+b+c)

3.x²+y²=1

原式=x√(1+y²)=√x²(1+y²)
√x²(1+y²)≤(x²+1+y²)/2=(1+1)/2=1
∴√x²(1+y²)的最大值是1

4.设2a=sinθ，3b=cosθ

∴a=sinθ/2，b=cosθ/3

∵sin²θ+cos²θ=1

∴2a+3b=sinθ+cosθ=√2sin(θ+π/4)≤√2

a+b=sinθ/2+cosθ/3=√[(1/2)²+(1/3)²]sin(θ+α)≤√13/6

∴2a+3b的最大值是√2，a+b的最大值是√13/6

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