证明题当x小于0时,1+xIn(x+更号下1+x²)大于更号下1+x²

证明题当x小于0时,1+xIn(x+更号下1+x²)大于更号下1+x²

令f（x）=1+xIn(x+√1+x²﹚-√1+x²
f′﹙x﹚=㏑﹙x+√1+x²)
又x+√1+x²=1/﹙√1+x²-x)<1/﹙√1+x²﹚<1
所以x<0时，f′﹙x﹚＜0恒成立，f（x）递减，又f（0）=0
所以x<0时，f（x）>0，原不等式成立
好像有点出人意料的顺利啊，不知道有没有错啊==

作差 求导

下面给出的证明是用Cauchy中值定理来做的，如果没学过微分中值定理的话，等待其他高人给出初等数学的证明方法吧。
1.转化问题
1+ x ln ( x + √1+x² ) > √1+x² , x<0
即 ln ( x + √1+x² ) < [ √1+x² - 1] / x , x<0
2. 令 f(x) = ln ( x + √1+x² ) , g(x) = [ √1+x² - 1] / x
3.柯西（Cauchy）中值定理
设函数f(x),g(x)满足
⑴在闭区间[a,b]上连续；
⑵在开区间（a，b）内可导；
⑶对任一x∈（a,b）有g'(x）≠0，
则存在ξ∈（a,b），使得
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)]=f'（ξ）/g'（ξ）
4.对第二步中的f(x)和g(x)求导：
f'(x) = 1 / √1+x²
g‘(x)= [√1+x² - 1] / [x²√1+x²]
5.利用Cauchy中值定理，取a=x, b=0.
则 f(b)=f(0)=0, 注意g(0)本身是不存在的，但是，当x趋向于0时，limg(x)=0，此时不严格地,我们可以认为g(0)=0
f'(x)/g'(x) = x² / [√1+x² - 1] = 1+√1+x²
ξ∈(x, 0) , f'(ξ)/g'(ξ) = 1+√1+ξ² >1
[f(b)-f(a)]/[g(b)-g(a)] = [f(0)-f(x)]/[g(0)-g(x)] = f(x) / g(x) = f'(ξ)/g'(ξ) = 1+√1+ξ² >1
最后，由于x<0，所以g(x) = [ √1+x² - 1] / x <0 ， 因此 f(x) < g(x)
命题得证。

如以上回答内容为低俗、色情、不良、暴力、侵权、涉及违法等信息，可以点下面链接进行举报！

点此我要举报以上问答信息