关于泰勒级数我有一个疑问，书上说的是，在x0的某领域内，具有n+1阶的导数，如果余项趋近于0

关于泰勒级数我有一个疑问，书上说的是，在x0的某领域内，具有n+1阶的导数，如果余项趋近于0，则对于任意的x属于x0的这个领域，f（x）在都可以展开成泰勒级数，
疑问1 这个定理强调了对任意的x属于这个领域，都可以展开成泰勒级数，那么我想问的是，x0可否在这个区间内任意变动，也就是x0在区间内变动时，f（x）还能展开成泰勒级数吗？
疑问2 将函数展开成泰勒级数时，其中有一步是求收敛半径，那么有没有可能求出来的收敛半径内存在某些点收敛但是不收敛于f（x），从而导致余项不趋近0呢？

首先你要学会严谨地叙述问题，只有把问题讲清楚了才能解决。

如果f(x)在x0的某领域内具有n+1阶的导数，那么f(x)在这个邻域内只能保证n+1阶Taylor展开，并不能进一步让n->oo，也就谈不上Taylor级数。
正确的叙述是：如果f(x)在x0的某个领域内无限可微，并且对此邻域内的任何x，以x0为中心的Taylor展开式的余项在n->oo时都趋于0，那么在此邻域内f(x)和它的Taylor级数相等。

关于疑问1，可以这样讲
如果f(x)在x0的某个邻域内可以(以x0为中心)展开成Taylor级数(也就是f(x)和它的Taylor级数相等的意思)，那么在该邻域内任取一点y0，是否存在y0的邻域使得f(x)在此范围内可以(以y0为中心)展开成Taylor级数？
结论是肯定的。仅用实函数比较麻烦（需要用二项式定理展开，再用绝对收敛级数的交换律），从复分析的角度看比较显然（当然逻辑上讲用到了相对高级的结论），如果f(x)在x0的邻域O(x0,R)内可以展开成Taylor级数，那么利用幂级数的性质知道该级数的收敛半径至少是R，并且在此邻域内f(x)是全纯函数，取r=R-|y0-x0|，那么y0的邻域O(y0,r)包含于O(x0,R)，f(x)在O(y0,r)内是解析函数，当然可以以y0为中心做Taylor展开。所以三楼的回答是有问题的。

关于疑问2，如果f(x)以x0为中心做Taylor展开，收敛半径为R，那么当|x-x0| 二楼关于收敛半径的观念是有一定问题的，虽然收敛半径是幂级数固有的性质，但是和f(x)本身也是有很大联系的，不能认为这两者无关。
三楼的例子虽然不满足你的疑问中的条件（因为那个例子收敛半径是0，并且在x=0处确实是收敛的），但是这个例子仍然需要掌握。

1. 不一定，已知f在x0点展开后余项->0, 但f在其他点处展开的余项并不一定->0啊~ 2. 考虑实函数的话，这种BT的情形时可能出现的。一个极端的例子是函数f(x)=exp(-1/x²), f(0)补充定义为0. 此函数在0点处各阶导数都为0，所以它的泰勒级数就是0函数，当然是处处收敛的，但是f(x)却不是0，和它的泰勒级数不同。 ----------------------------------------------------- To “电灯剑客”： 关于1，我的理解可能确实肤浅了。你的意思是不是说因为f(x)在x0的一个邻域内可以展成Taylor级数，收敛半径R>0, 所以可以在Taylor级数里把实变量x换成复变量z, 收敛半径仍为R. 利用此级数在B(x0,R)的收敛性，把f从实变量函数延拓为复变量函数，然后利用复变里解析函数的性质做？ 关于2, 抱歉我不赞同你的观点。我想LZ的问题应该是“Taylor级数是否可能在某些点收敛，但不收敛到f(x)本身”吧~你的解答只是说Taylor级数在收敛半径内部收敛（这是显然的），但并不一定处处收敛到f本身啊~~ 关于我举的g(x)=exp(-1/x²), g(0)=0的例子(在0点展开)，我认为是能说明问题的。它在0点的函数值各阶导数值都为0, 即：Taylor级数各项系数都为0. 一个各项系数为0的幂级数（其实就是0函数）收敛半径当然是+∞, 怎么会是0呢？ 至于在0点，Taylor级数肯定是收敛到函数本身的，因为是在0点展开的嘛……但是在x=0外, g(x)的Taylor级数都收敛(为0), 却并不收敛到g(x)本身，这正是LZ需要的一个反例。 P.S. 以前看过你的很多回答，非常佩服。在高等数学领域，我觉得你是我在百度知道见过的最有学识的人~~

x0可以上下摆动，但是是越来越趋近于0。 不可能不收敛，因为这一点必须连续才能求级数，必定收敛，前边其他数学家一些证明就是铺垫。

你的两个疑问都显示出概念性的混淆。 疑问1：x0使任意一个取定的点。比如x0=1，则是1的领域；x0=2，则是2的领域。他是不随x变动的。当x0定后，就在它的领域里存在Taylor级数展开了。对于任意情况，x是自变量，而x0是一个定值。 所以x0变动后，当然f(x)还是可以Taylor展开的，只是展开的级数和之前的不一样罢了，因为x0变了，级数是关于任意取定的x0展开的。 疑问2：级数展开是不需要求收敛半径的啊，收敛半径是用来判断级数敛散性的，不是用来Taylor展开的，这个自己好好翻翻《数学分析》（数学类专业）或者《高等数学》（非数学类专业）。这两样不沾边的。

形如∑a*(x-x0)^n的无穷级数称为幂级数，n从几开始无所谓，但一定是到∞，否则应该叫多项式； 幂级数中的系数a如果是：a=f^(x0)/n!，这个幂级数就称为函数f(x)在x0处的泰勒级数； 任何一个函数的泰勒级数都是幂级数，但幂级数并不一定是某个函数的泰勒级数； f(x)在x0处的泰勒级数取前面有限多项，称为f(x)在x0处的泰勒公式，如果取到a*(x-x0)^n这项为止，就称为f(x)在x0处的n阶泰勒公式； f(x)在x0处的泰勒级数与f(x)在x0处的泰勒公式的差，称为f(x)在x0处的泰勒公式的余项，泰勒中值定理把这个余项表达成一个有限的式子，即拉格朗日型的余项。 综上所言 幂级数和泰勒级数没有本质的区别！要求具有任意阶导数 而泰勒公式则只要求有n+1阶导数就可以展开成n阶泰勒公式当余项极限为0时可以展开成级数 2011-9-23 2:42:47

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