设F(x)是定义域在R上的增函数，如果不等式F(1-ax-x^2)<F（2-a)对于x属于【0.1】恒成立，求a的范围
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解决时间 2021-04-02 01:31
- 提问者网友：雨不眠的下
- 2021-04-01 13:00
设F(x)是定义域在R上的增函数，如果不等式F(1-ax-x^2)<F（2-a)对于x属于【0.1】恒成立，求a的范围
最佳答案
- 五星知识达人网友：詩光轨車
- 2021-04-01 13:21
F(x)是增函数，所以原不等式可化为
1-ax-x²<2-a，
即(1-x)a<1+x²，
因为x∈[0,1]，
当x=1时，不等式化为0<2，成立；
当0≤x<1时，1-x>0，不等式化为
a<(1+x²)/(1-x)
从而 a<[(1+x²)/(1-x)]min，x∈[0,1)
令g(x)=(1+x²)/(1-x)，x∈[0,1)
则g'(x)=[2x·(1-x)-(1+x²)·(-1)]/(1-x)²=(2x+1-x²)/(1-x)² >0
所以 g(x)在[0,1)上是增函数，最小值为g(0)=1
于是 a<1
1-ax-x²<2-a，
即(1-x)a<1+x²，
因为x∈[0,1]，
当x=1时，不等式化为0<2，成立；
当0≤x<1时，1-x>0，不等式化为
a<(1+x²)/(1-x)
从而 a<[(1+x²)/(1-x)]min，x∈[0,1)
令g(x)=(1+x²)/(1-x)，x∈[0,1)
则g'(x)=[2x·(1-x)-(1+x²)·(-1)]/(1-x)²=(2x+1-x²)/(1-x)² >0
所以 g(x)在[0,1)上是增函数，最小值为g(0)=1
于是 a<1
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