求级数((√n+1)-√n)x^n的收敛域
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解决时间 2021-01-06 18:15
- 提问者网友：兔牙战士
- 2021-01-06 12:40
求级数((√n+1)-√n)x^n的收敛域
最佳答案
- 五星知识达人网友：痴妹与他
- 2021-01-06 14:16
对级数 ∑[√(n+1)-√n]xⁿ，由于
|[√(n+2)-√(n+1)]/[√(n+1)-√n]|
= [√(n+1)+√n]/[√(n+2)+√(n+1)]
→ 1 (n→∞)，
得知该级数的收敛半径为 1，收敛区间为(-1,1)。而在 x=-1，级数为
∑[√(n+1)-√n](-1)ⁿ = ∑(-1)ⁿ/[√(n+1)+√n]，
是 Leibniz 型级数，是收敛的；在 x=1，级数为
∑[√(n+1)-√n] = ∑{1/[√(n+1)+√n]}，
是发散的（与调和级数比较）。
综上，该级数的收敛区域为 [-1,1)。
|[√(n+2)-√(n+1)]/[√(n+1)-√n]|
= [√(n+1)+√n]/[√(n+2)+√(n+1)]
→ 1 (n→∞)，
得知该级数的收敛半径为 1，收敛区间为(-1,1)。而在 x=-1，级数为
∑[√(n+1)-√n](-1)ⁿ = ∑(-1)ⁿ/[√(n+1)+√n]，
是 Leibniz 型级数，是收敛的；在 x=1，级数为
∑[√(n+1)-√n] = ∑{1/[√(n+1)+√n]}，
是发散的（与调和级数比较）。
综上，该级数的收敛区域为 [-1,1)。
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