已知椭圆C:x^2/4+y^2=1,直线l与椭圆C相交于A,B两点,向量OA*向量OB=0(O为坐标

已知椭圆C:x^2/4+y^2=1,直线l与椭圆C相交于A,B两点,向量OA*向量OB=0(O为坐标

当直线l没有斜率时,设l:x=t,代入椭圆C:x^2/4+y^2=1得：t²/4+y²=1,y²=1-t²/4∵向量OA*向量OB=0∴t²=1-t²/4,t²=4/5,|t|=2√5/5即O到l的距离为2√5/5当直线l有斜率时,设l:y=kx+m代入椭圆C:x^2/4+y^2=1x²/4+(kx+m)²=1即(4k²+1)x²+8kmx+4m²-4=0Δ=64k²m²-16(4k²+1)(m²-1)>0==> 1+4k²>m²设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1+x2=-8km/(4k²+1),x1x2=4(m²-1)/(4k²+1)∵向量OA*向量OB=0∴x1x2+y1y2=0∴x1x2+(kx1+m)(kx2+m)=(k²+1)x1x2+km(x1+x2)+m²=0∴4(k²+1)(m²-1)/(4k²+1)-8k²m²/(4k²+1)+m²=0∴4(k²+1)(m²-1)-8k²m²+(4k²+1)m²=0∴ 5m²=4(k²+1) |m|/√(k²+1)=2√5/5那么O到l的距离d=|m|/√(k²+1)=2√5/5∴点O到直线AB的距离为定值2√5/5（2）k不存在时,|OA|*|OB|=8/5k存在时,根据面积公式：|OA|*|OB|=|AB|*d|AB|=4/√5=√（k²+1)√[(x1+x2)²-4x1x2]=√(k²+1)√[64k²m²/(4k²+1)²-16(m²-1)/(4k²+1)]=√(k²+1)*4/(4k²+1)*√(1+4k²-m²)=√(k²+1)*4/(4k²+1)*√(1/5+16/5k²)=4/√5*√[(16k⁴+17k²+1)/(4k²+1)²]=4/√5*√[1+9k²/(4k²+1)²]∴k=0时,|AB|取得最小值4/√5∴|OA|*|OB|=|AB|*d≥4/√5*2√5/5=8/5即|OA|*|OB|的最小值为8/5

和我的回答一样，看来我也对了

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