已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*,有an=2/3(Sn+n)

（1）求证：数列{an+1}是等比数列，求{an}的通项公式
（2）求数列{n*an}的前n项和Tn

（1）
an=2/3*(Sn+n)，故
a(n-1)=2/3*(S(n-1)+(n-1))，二式相减，得
an-a(n-1)=2/3*(an+1)，整理，得
1/3an=a(n-1)+2/3.两边同时加1/3，得
1/3an+1/3=a(n-1)+1，即
(an+1)/(a(n-1)+1)=3.故数列{an+1}是等比数列.
当n=1时，代入an=2/3(Sn+n)，解之，得
a1=2，故
a1+1=3，an+1=3^n，故
{an}的通项公式为an=3^n-1
（2）
设数列{cn}的通项公式为cn=n*an+n，前n项和为R，则
cn=n*3^n.故
R=3+2*3^2+3*3^3+4*3^4+……+(n-1)*3^(n-1)+ n*3^n，又
3R= 3^2+2*3^3+3*3^4+……+(n-2)*3^(n-1)+(n-1)*3^n+n*3^(n+1)，上式减下式，得
-2R=3+3^2+3^3+3^4+……+3^n-n*3^(n+1)
=3*(1-3^n)/(1-3) - n*3^(n+1)，整理，得
R=(n/2-1/4)*3^(n+1)+3/4.又
R为{n*an+n}的前n项和，故
R=Tn+1+2+……+n=T+n*(n+1)/2，故
Tn=R-n*(n+1)/2
=(n/2-1/4)*3^(n+1)-n*(n+1)/2+3/4

(1)∵点（n,sn)都在函数f(x)=2x（2平方）-x的图像上。 ∴sn=2n²-n n=1,a1=s1=1, n=2,s2=6,a2=s2-a1=5 n=3,s3=15,a3=s3-a1-a2=9 n=4,s4=28,a4=s4-a1-a2-a3=13 {an}的通项公式:a1+(n-1)d=4n-3 (2)∵bn=sn/n+p ∴b1=1/1+p b2=6/2+p b3=15/3+p ∵数列{bn}是等差数列 ∴2b2=b1+b3. 12/(2+p)=1/(1+p)+15/(3+p) 12(1+p)(3+p)=(2+p)*(3+p)+15(2+p)(1+p) 36+48p+12p²=6+5p+p²+30+45p+p² 10p²-2p=0 ∴p=0.2 (3)an=4n-3,an+1=4n+1 cn=2/(4n-3)(4n+1)=(1/(4n-3)-1/(4n+1))/2 cn-1=2/(4n-7)(4n-3）=（1/（4n-7)-1/(4n-3)/2 裂项相消：tn=(1-1/(4n+1))/2=2n/(4n+1)＜m/20 ∴n=1. 2/5＜m/20. 8＜m. ∴使得tn＜m/20对所有n∈n*都成立的最小正整数为9。

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