怎么用抽象代数里的拉格朗日定理，剩余类证明费马小定理，不要用数论的
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解决时间 2021-04-06 16:21
- 提问者网友：凉末
- 2021-04-05 18:57
怎么用抽象代数里的拉格朗日定理，剩余类证明费马小定理，不要用数论的
最佳答案
- 五星知识达人网友：从此江山别
- 2021-04-05 19:37
先证明Zn里满足（a,n)=1的所有元素的集合在乘法下构成一个群G。
不妨设a,b∈G，由(a,n)=1,(b,n)=1推出(ab,n)=1,即ab∈G，乘法是闭的。
剩余类乘法是结合的。
显然1是单位元。
又（a,n)=1，所以存在整数s,t使as+nt=1,则as=1(n),且(s,n)=1故a-1=s∈G，这样G是一个群，且o(G)=φ(n)。
根据Lagrange定理，当(a,n)=1时有a^φ(n)=1(mod n)。特别地，n为素数p时，φ(p)=p-1,所以a^(p-1)=1(mod p),两边同时乘以a得a^p=a(mod p) (1)
若p整除a,则(1)显然成立。
证毕。
不妨设a,b∈G，由(a,n)=1,(b,n)=1推出(ab,n)=1,即ab∈G，乘法是闭的。
剩余类乘法是结合的。
显然1是单位元。
又（a,n)=1，所以存在整数s,t使as+nt=1,则as=1(n),且(s,n)=1故a-1=s∈G，这样G是一个群，且o(G)=φ(n)。
根据Lagrange定理，当(a,n)=1时有a^φ(n)=1(mod n)。特别地，n为素数p时，φ(p)=p-1,所以a^(p-1)=1(mod p),两边同时乘以a得a^p=a(mod p) (1)
若p整除a,则(1)显然成立。
证毕。
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