已知函数f（x）=-22x?a+1．（1）求证：f（x）的图象关于M（a，-1）对称；（2）若f（x）≥-2x，在x≥a上恒

已知函数f（x）=-22x?a+1．（1）求证：f（x）的图象关于M（a，-1）对称；（2）若f（x）≥-2x，在x≥a上恒成立，求实数a的取值范围．

解答：（1）证明：假设（x，y）为此函数的一点，那么此点关于（a，-1）的对称点为（2a-x，-2-y），则
f（2a-x）=-
2
22a?x?a+1 =-2+
2
2x?a+1 =-2-y，
∴点（x，y）关于（a，-1）的对称点为（2a-x，-2-y），也在图象上，
∴f（x）的图象关于M（a，-1）对称；
（2）解：∵函数f（x）=-
2
2x?a+1 ，
∴f（x）≥-2x可化为-
2
2x?a+1 ≥-2x，
即22x-a+2x-2≥0，
令h（x）=22x-a+2x-2，
则h′（x）=22x-a?2ln2+2x?ln2
=（22x-a?2+2x）ln2，
∵ln2＞0，
∴h′（x）＞0，
∴函数f（x）=-
2
2x?a+1 在[a，+∞）上单调递增，
∴h（x）=22x-a+2x-2≥h（a）=2?2a-2，
∵f（x）≥-2x在x≥a上恒成立等价于，
h（a）=2?2a-2≥0，
∴a≥0，
∴实数a的取值范围是[0，+∞）．

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