高分悬赏:证明证明实对称矩阵是正定矩阵的充定条件是它的特征值是正数

证明证明实对称矩阵是正定矩阵的充定条件是它的特征值是正数

今晚18时以前必须做出，

若A是正定的，那么存在k1,k2,...,kn>0与正交阵Q，使得A=QT*diag(k1,k2,...,kn)Q。其中QT代表Q的转置。
所以只要令C=QTdiag(根号k1,根号k2,...,根号kn)Q,那么就有：C是正交阵并且A=C^2

若存在可逆实对称矩阵C使得A=C^2，则C可以用正交阵对角化，即C=QTdiag(m1,m2,...,mn)Q，其中mi为非0实数
所以A=QTdiag(m1^2,m2^2,...,mn^2)QT为正定阵

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