已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x均满足f(10+x)=f(10-x)，

已知定义在R上的函数f(x)对任意实数x均满足f(10+x)=f(10-x)，

如果没有笔误的话
这是一个假命题
证明如下
取：y=x-10
得：f(x)=f(10+y)=f(10-y)=f(20-x)=-f(20+x)
取：y=x+10
得：f(-x)=f(10-y)=f(10+y)=f(20+x)
可见：f(x)=-f(-x)
结论：f(x)是奇函数而不是偶函数追问是奇函数与是偶函数并不矛盾。如果f(x)=0，满足题目中的一切要求。但f(x)是既奇又偶函数

f(20-x)=f[10-(x-10)]=f[10+(x-10)]=f(x)
f(20+x)=f[10+(10+x)]=f[10-(10+x)]=f(-x)
因为f(20+x)=-f(20-x)
所以-f(x)=f(-x)
所以f(x)是奇函数
令t=10+x,则10-x=20-t
f(t)=f(20-t)
所以f(20+t)=f(-t)
因为f(20+x)+f(20-x)=0
所以f(t)+f(-t)=0,所以f(x)是奇函数
所以f(10-x)=f(x-10)=f(x+10)
令x-10=m,x+10=m+20
有f(m)=f(m+20),所以f(x)是以T=20为周期的奇函数
仅供参考 满意请采纳 谢谢追问f(x)确实是奇函数，这个我也能证出来。但f(x)是奇函数并不意味着它就不能是偶函数了。例如f(x)=0,是个既奇又偶函数，满足题目中的一切条件所以我想问的是，f(x)是否一定是偶函数？f(10-x)= f( x-10)这一步没看太懂，能具体再说一下吗，

如下证明出是奇函数
您再看看呢？

追问如果f(x)=0，则f(x)满足题目中的一切要求，但f(x)是既奇又偶函数追答噢，是的，是我遗漏了

f(10+x)=f(10-x)，
以x-10代x,得f(x)=f(20-x),
又f(20-x)=-f(20+x)，①
∴f(x)=f(x+20),
∴20是f(x)的周期，
由①，f(-x)=f(x),
∴f(x)是偶函数。

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