x趋于0时，(e^(x^2)-e^(2-2cosx))/(x^4)的极限=
答案:3 悬赏:50 手机版
解决时间 2021-02-10 15:52
- 提问者网友：兔牙战士
- 2021-02-10 07:09
x趋于0时，(e^(x^2)-e^(2-2cosx))/(x^4)的极限=
最佳答案
- 五星知识达人网友：动情书生
- 2021-02-10 08:08
解：分享一种解法，用无穷小量替换。
∵x→0时，cosx~1-(1/2!)x^2+(1/4!)x^4、e^x~1+x，
又，2-2cosx=2(1-cosx)~x^2-(1/12)x^4，
∴e^(x^2)-e^[2-2cosx]~e^(x^2)-e^[x^2-(1/12)x^4]~(1+x^2)-[1+x^2-(1/12)x^4]=(1/12)x^4，
∴原式=(1/12)lim(x→0)x^4/x^4=1/12。
供参考。
∵x→0时，cosx~1-(1/2!)x^2+(1/4!)x^4、e^x~1+x，
又，2-2cosx=2(1-cosx)~x^2-(1/12)x^4，
∴e^(x^2)-e^[2-2cosx]~e^(x^2)-e^[x^2-(1/12)x^4]~(1+x^2)-[1+x^2-(1/12)x^4]=(1/12)x^4，
∴原式=(1/12)lim(x→0)x^4/x^4=1/12。
供参考。
全部回答
- 1楼网友：渡鹤影
- 2021-02-10 09:57
无穷小量只能用在乘除里面，否则很容易错的。= -误打误撞这道题答案对了而已。
- 2楼网友：北方的南先生
- 2021-02-10 08:33
把x=0代入得到0/0，洛必达，分子分母分别求导
(2xe^(x^2)-2sinx)/4x^3
0/0,洛必达
(2e^(x^2)+4x^2*e^(x^2)-2cosx)/12x^2
0/0洛必达
[4xe^(x^2)+8xe^(x^2)+8x^3*e^(x^2)+2sinx]/24x
=[12xe^(x^2)+8x^3*e^(x^2)+2sinx]/24x
0/0洛必达
=[12e^(x^2)+24x^2e^(x^2)+24x^2e^(x^2)+16x^4*e^(x^2)+2cosx]/24
将x=0代入得到(12+0+0+0+2)/24=7/12
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