双钩函数最值时的自变量

如果F(X)=AX+B/X 老师说当AX=B/X时，函数取得最值，这是如何推导的？

麻烦写下过程。。。。

不妨先考虑A,B都是正数的情况

考虑在（0，+∞）区间上单调性，设0<x1<x2，

函数递减即f（x1）>f（x2）时，f（x1）- f（x2）>0，也就是说A(x1-x2)+B(1/x1-1/x2)>0，通分移项得A(x1-x2)>B(x1-x2)/(x1x2),因x1<x2，（x1-x2）<0，两边约掉（x1-x2），不等式变号，得到A<B/(x1x2),x1x2<B/A,显然如果x2< ，一定满足不等式，也就能保证函数递减，换句话说就是在（0， ）上函数递减。

函数递增时，f（x1）<f（x2）时，f（x1）- f（x2）<0，也就是说A(x1-x2)+B(1/x1-1/x2)<0，通分移项得A(x1-x2)<B(x1-x2)/(x1x2),因x1<x2，（x1-x2）<0，两边约掉（x1-x2），不等式变号，得到A>B/(x1x2),x1x2>B/A,显然如果x1> ，一定满足不等式，也就能保证函数递减，换句话说就是在（ ,+∞）上函数递增。

这样就很明确了，函数在（0， ）上函数递减，在（ ,+∞）上函数递增，x= 时取正数域最小值。同样可以得到函数在（- ，0）上函数递减，在（-∞,- ）上函数递增，x=- 时取负数域最大值。也就是说取最值时 =B/A，Ax=B/x。

A,B都是负数时，推导是类似的，也能得出Ax=B/x。

而A>0,B<0时，（Ax）和（-B/x）都递增，F(x)=Ax+B/x在（-∞，0）和（0，+∞）上递增，无所谓最值。

同样地而A<0,B>0时，（Ax）和（-B/x）都递减，F(x)=Ax+B/x在（-∞，0）和（0，+∞）上递减，也无所谓最值。

这要看Ａ、Ｂ两数的等号来定，ＡＢ同为正、同为负是成立的

ＡＢ正负号正反应不成立

设Ａ>0 Ｂ>0

y=Ax 是严格增函数

ｙ＝B/x 是严格减函数

在座标系作个画就容易看出

两函数相加时，相交点为相加函数的最小值

当然ＡＸ＝B/x

当ＡＢ符号相反时，显然ＡＸ不可能等于B/X

(1)

(a-b)²=a²-2ab+b²完全平方公式 你该知道吧

又因为(a-b)²≥0 ==>a²-2ab+b²≥0 ==>a²+b²≥2ab

因为当a=b时 (a-b)²=0 ==>当a=b时, 不等式a²+b²≥2ab中x取=号

(2)

用x y分别替换a²和b² ==>x+y≥2√x *√y =2√xy (这里x≥0 y≥0)

同理当x=y时, 不等式x+y≥2√xy中x取=号

(3)

我们现在讨论x>0时 F（x)=AX+B/X

对F(X)=AX+B/X我们 把AX看成x B/X看成y

所以F(X)=AX+B/X≥2√AX*(B/X)=√AB （√AB也就是x>0时 F（x)=AX+B/X的最小值)

由前面推出的结论当AX=B/X取等号

也就是x>0时 对于F（x)=AX+B/X 当AX=B/X取等号

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