一道题~要详细的讲解~谢谢~

在同一个平面上有N条直线，两两相交，没有三条线活以上的线有共同的交点，一共可以将这个平面分成多少个区域？

n=1，2部分

n=2，4部分(4=2+2)

n=3，7部分(7=4+3)

n=4，11部分(11=7+4)

n=5，16部分(16=11+5)

n=6，22部分(22=16+6)

......................

所以有当有n条直线时，部分为(n^2+n+2)/2

我求的是最多可把平面分成多少个区域

设平面上n条直线最多可把平面分成f(n)个区域

那么第n+1条直线与其余n条直线均有交点(n个交点),那么该直线被分成n+1部分

从而增加的区域为n+1个区域

即可得关系式:f(n+1)=f(n) + n+1

从而有f(n)=f(n-1) + n

我们可得f(1)=2

从而f(2)=f(1)+2=4

f(3)=f(2)+3=7

同理可得f(n)=f(1)+2+3+4+……+n=2+2+3+4+……+n=(n^2+n+2)/2

设1+2+3+……+n=X

n+（n-1）+（n-2）+……+1=X

两式相加得（n+1）*n=2X，所以得X=（n^2+n）/2

而f(n)=1+(1+2+3+……+n)=X+1=(n^2+n+2)/2

1条直线，分成2个面

2条直线，分成4个面

3条直线，分成7个面

4条直线，分成11个面

……

n条直线，分成1+n(n-1)÷2个面

据题意：

可根据递推得当n=1，区域为2

n=2，区域为4

n=3，区域为6

......................

所以有当有N条直线时，区域为2n

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