下表给出一个“等差数阵”： 其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i行第j列的数．

下表给出一个“等差数阵”： 其中每行、每列都是等差数列，a ij 表示位于第i行第j列的数．

解：(1)a 45 =49； (2)该等差数阵的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a 1j =4+3(j-1）； 第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a 2j =7+5(j-1)，……， 第i行是首项为4+3(i-1)，公差为2i+1的等差数列， 因此a ij =4+3(i-1)+(2i+1)(j-1)=2ij+i+j=i(2j+1)+j。 (3)必要性：若N在该等差数阵中，则存在正整数i，j，使得N=i(2j+1)+j， 从而2N+1=2i(2j+1)+2j+1=(2i+1)(j+1)， 即正整数2N+1可以分解成两个不是的正整数之积。 充分性：若2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积， 由于2N+1是奇数，则它必为两个不是的奇数之积， 即存在正整数k，l，使得2N+1=(2k+1)(2l+1)， 从而N=k(2l+1)+k=a kl 可见N在该等差数阵中； 综上所述，正整数N在该等差数阵中的充要条件是2N+1可以分解成两个不是1的正整数之积．

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