已知ABC三点

已知ABC三点，其中A(cos a，sin a)，B(cosb，sinb)，C(cosr，sinr)
若OA+kOB+(2-k)OC=0 (k为常数且0＜k＜2)，O为坐标原点，求
①cos(b-r)的最值和取得最值时k的值
②cos(b-r)取得最大值时，S△BOC：S△AOC：S△AOB
(OA、OB、OC表示向量)

解：向量OA=(cosα)i+(sinα)j

|OA|=√(cos²α+sin²α)=1
向量OB=(cosβ)i+(sinβ)j

同理，|OB|=1
向量OC=(cosγ)i+(sinγ)j

|OC|=1
OA+kOB+(2-k)OC
=[cosα+kcosβ+(2-k)cosγ]i+[sinα+ksinβ+(2-k)sinγ]j=0
∴cosα+kcosβ+(2-k)cosγ=0..........(1)
sinα+ksinβ+(2-k)sinγ=0..........(2)
由(1)得cosα=-kcosβ+(k-2)cosγ
由(2)得sinα=-ksinβ+(k-2)sinγ
故cos²α+sin²α=[-kcosβ+(k-2)cosγ]²+[-ksinβ+(k-2)sinγ]²
=k²+(k-2)²-2k(k-2)(cosβcosγ+sinβsinγ)
=2k²-4k+4-2k(k-2)cos(β-γ)=1
故cos(β-γ)=(2k²-4k+3)/2k(k-2)
令y=(2k²-4k+3)/2k(k-2)
去分母，化简，整理得：2(y-1)k²-4(y-1)k-3=0
当y≠1时，原方程为关于k的二次方程

∵0＜k＜2，即k∈R

∴Δ=16(y-1)²+24(y-1)=8(y-1)(2y+1)≥0
∴y≤-1/2或y≥1(舍去)

∵cos(β-γ)≤1

而当y=1时，方程1=(2k²-4k+3)/2k(k-2)无实数解

即没有满足条件的k，使y=cos(β-γ)=1

∴cos(β-γ)有最大值-1/2，无最小值

当cos(β-γ)=(2k²-4k+3)/2k(k-2)=-1/2

即β-γ=120°时，k=1
∴S△BOC=1/2|OB||OC|sin120°
=(1/2)×1×1×√3/2
=√3/4

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