x的x次方从0到1的积分用级数怎么做啊

x的x次方从0到1的积分用级数怎么做啊

x^x=e^(xlnx)=1+xlnx+(xlnx)^2/2!+(xlnx)^3/3!+...
容易知道xlnx在【0,1】上的最大值是0，最小值是--1/e，
因此|xlnx|^n/n!<=1/(e*n!)
故此级数在【0,1】上是一致收敛的，因此可逐项积分。
在【0,1】上可用分部积分逐步递推得到(xlnx)^n的积分值：
积分（从0到1）x^n*(lnx)^ndx
=x^(n+1)*(lnx)^n/(n+1)|上限1下限0--n/(n+1)*积分（从0到1）x^n*(lnx)^(n--1)dx
=-n/(n+1)*(-(n--1))/(n+1)*....*(-1)/(n+1)*(-1)/(n+1)
=(--1)^n*n!/(n+1)^(n+1)，n=1,2，...
于是逐项积分得积分值是
求和（n=1到无穷）(--1)^n/(n+1)^(n+1)+1
=求和（n=1到无穷）(--1)^(n--1)/n^n

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