设a,b,c,d是自然数,且满足条件n^2<a<b<c<d<(n+1)^2,n是大于1的自然数求证:ad≠bc

设a,b,c,d是自然数,且满足条件n^2<a<b<c<d<(n+1)^2,n是大于1的自然数求证:ad≠bc

这题有意思，用反证法，假设ad=bc
重要的条件是n^2设a=n^2+e
b=n^2+f
c=n^2+g
d=n^2+h
由ad=bc有 n^4+（h+e）n^2+eh=n^4+（f+g）n^2+fg

（h+e）n^2+eh=（f+g）n^2+fg
（h+e-f-g）n^2=fg -eh
但fg和eh本身都是n^4到(n+1)^4
fg-eh<2n^2
那么意味着h+e-f-g的取值只能是0和1
如果是0，那么h+e=f+g
fg=eh
由维达定理知道上面的efgh是二次方程x^2-(h+e)x+he=0的两根，但是因为至多两根
所以efgh中间只是两个数，和他们互不相等矛盾

如果是1，意味着fg-eh=n^2
h+e-f-g=1
令J=h-1，可以一样推到矛盾

所以 假设不成立，有ad≠bc

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