中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为 1 2 ，长轴为8的椭圆的标准方程为______

中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为
1
2 ，长轴为8的椭圆的标准方程为______．

设a＞0，c＞0，依题意，e=
c
a =
1
2 ，a=4，
∴c=2，b 2 =a 2 -c 2 =16-4=12，
∴当焦点在x轴时，椭圆的标准方程为
x 2
16 +
y 2
12 =1；
当焦点在y轴时，椭圆的标准方程为
y 2
16 +
x 2
12 =1．
故答案为：
x 2
16 +
y 2
12 =1或
y 2
16 +
x 2
12 =1

根据已知条件，椭圆的焦点在x轴上，设椭圆为x²/a²+y²/b²=1，由于离心率e=c/a=√2/2，又a²=b²+c²，那么可以假设椭圆为x²/2+y²=b²，直线与椭圆交于2点，设两点坐标为p（x1，y1）和q（x2，y2），则op，oq向量为（x1，y1）和q（x2，y2），因为op,oq垂直，两向量点击后为0，则x1x2+y1y2=0。将直线和椭圆联立，x²+2（x+1）²=2b²，整理后得3x²+4x+2-2b²=0，根据韦达定理，x1x2=（2-2b²）/3，同理，y1y2=（1-2b²）/3，所以x1x2+y1y2=（3-4b²）/3=0，b²=3/4，a²=3/2，椭圆方程为x²/（3/2）+y²/（4/3）=1

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