已知a,b,c属于R求证：b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2>=abc(a+b+c)

已知a,b,c属于R求证：b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2>=abc(a+b+c)

由均值不等式得：b²c²+c²a²≥2c²ab,c²a²+a²b²≥2a²bc,a²b²+b²c²≥2b²ac.三式相加得：b²c²+c²a²+a²b²≥2abc(a+b+c).

解析: 左边含有分母,右边为整式,故要设法去掉左边的分母 因为 a,b属于r+ 所以 a^2/b+b>=2根号a^2/b*b=2a 同理 b^2/c+c>=2b , c^2/a+a>2c 所以可得 b^2/a + c^2/b + a^2/c + a + b + c >=2a +2b +2c 即b^2/a + c^2/b + a^2/c >=a+b+c

b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2=(b^2c^2+c^2a^2)/2+(b^2c^2+a^2b^2)/2+(c^2b^2+a^2b^2)/2 (b^2c^2+c^2a^2)/2>=abc^2 (b^2c^2+a^2b^2)/2>=ab^2c (c^2a^2+a^2b^2)/2>=a^2bc 三项相加： b^2c^2+c^2a^2+a^2b^2>=abc(a+b+c)

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