求证：当x∈R时，任意f（x）都可以写成一个奇函数与一个偶函数的和

求证：当x∈R时，任意f（x）都可以写成一个奇函数与一个偶函数的和．

证明：设g（x）是R上的奇函数，h（x）是R上的偶函数，
先假设f（x）=g（x）+h（x）是存在的，则f（-x）=g（-x）+h（-x），
∵奇函数性质：g（x）=-g（-x），
偶函数性质：h（x）=h（-x）
∴







f(x)+f(?x)＝2h(x)
f(x)?f(?x)＝2g(x)  ，
解得g(x)＝
f(x)?f(?x)
2 ，h(x)＝
f(x)+f(?x)
2 ，
则验证得，g（x）为R上的奇函数，h（x）为R上的偶函数，
由此我们得出结论，当x∈R时，对任意的f（x），我们能够构造这么两个函数 
g(x)＝
f(x)?f(?x)
2 是奇函数，h(x)＝
f(x)+f(?x)
2 是偶函数，且f（x）=g（x）+h（x）．

证明：∵f(x)的定义域关于原点对称， ∴f(-x)，f(x)皆有意义， 又∵ f(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2 设 h(x)=[f(x)+f(-x)]/2，g(x)=[f(x)-f(-x)]/2 ∵g(x)，h(x)的定义域都是关于原点对称的， ① ，g(-x)=[f(-x)-f(+x)]/2=-[f(x)-f(-x)]/2=-g(x)∴g(x)是奇函数； ② ，h(-x)=[f(-x)+f(+x)]/2=h(x)∴h(x)是偶函数； 综上可知，f(x)一定能表示成一个奇函数与一个偶函数之和．

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