在△ABC中,sin A=sin B+sin C/cos B+cos C,试判断△ABC的形状

在△ABC中,sin A=sin B+sin C/cos B+cos C,试判断△ABC的形状，高一第二学期的题，需要有详解过程。

sin A=(sin B+sin C)/(cos B+cosC) 即为cos B+cosC=(sinB+sinC)/sinA,
由正弦定理，sinA/a=sinB/b=sinC/c,所以(sinB+sinC)/sinA=(b+c)/a;
由余弦定理，cosB=(a^2+c^2-b^2)/(2ac), cosC=(a^2+b^2-c^2)/(2ab),
因此由(b+c)/a=(a^2+c^2-b^2)/(2ac)+(a^2+b^2-c^2)/(2ab),
两边先约去a，乘以2可得:
2(b+c)
=(a^2+c^2-b^2)/c+(a^2+b^2-c^2)/b
=(a^2-b^2)/c+c+(a^2-c^2)/b+b
两边再消去b+c 可得：
b+c
=(a^2-b^2)/c+(a^2-c^2)/b  (通分)
=[b(a^2-b^2)+c(a^2-c^2)]/(bc) (对分子因式分解)
=(a^2+bc-b^2-c^2)(b+c)/(bc)
等式左右再约去 b+c 可得：
a^2+bc-b^2-c^2=bc, 消去bc即得 a^2=b^2+c^2
因此三角形是直角三角形，且角A是直角。

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