已知函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）-x在区间（0，10）内所有零点的和为________．

已知函数f（x）=，则函数g（x）=f（x）-x在区间（0，10）内所有零点的和为________．

45解析分析：函数y=f（x）与y=x在（0，1]，（1，2]，（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（0，0），（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），…，（n+1，n+1）．即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的根依次为3，4，…n+1．方程f（x）-x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为0，1，2，3，4，…，可得数列通项公式．解答：解：当0＜x≤1时，有-1＜x-1＜0，则f（x）=f（x-1）+1=2x-1，当1＜x≤2时，有0＜x-1≤1，则f（x）=f（x-1）+1=2x-2+1，当2＜x≤3时，有1＜x-1≤2，则f（x）=f（x-1）+1=2x-3+2，当3＜x≤4时，有2＜x-1≤3，则f（x）=f（x-1）+1=2x-4+3，以此类推，当n＜x≤n+1（其中n∈N）时，则f（x）=f（x-1）+1=2x-n-1+n，所以，函数f（x）=2x的图象与直线y=x+1的交点为：（0，1）和（1，2），由于指数函数f（x）=2x为增函数且图象下凸，故它们只有这两个交点．然后：①将函数f（x）=2x和y=x+1的图象同时向下平移一个单位，即得到函数f（x）=2x-1和y=x的图象，取x≤0的部分，可见它们有且仅有一个交点（0，0）．即当x≤0时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=0．②取①中函数f（x）=2x-1和y=x图象-1＜x≤0的部分，再同时向上和向右各平移一个单位，即得f（x）=2x-1和y=x在0＜x≤1上的图象，此时它们仍然只有一个交点（1，1）．即当0＜x≤1时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=1．③取②中函数f（x）=2x-1和y=x在0＜x≤1上的图象，继续按照上述步骤进行，即得到f（x）=2x-2+1和y=x在1＜x≤2上的图象，此时它们仍然只有一个交点（2，2）．即当1＜x≤2时，方程f（x）-x=0有且仅有一个根x=2．④以此类推，函数y=f（x）与y=x在（2，3]，（3，4]，…，（n，n+1]上的交点依次为（3，3），（4，4），…（n+1，n+1）．即方程f（x）-x=0在（2，3]，（3，4]，…（n，n+1]上的根依次为3，4，…，n+1．综上所述方程f（x）-x=0的根按从小到大的顺序排列所得数列为：0，1，2，3，4，…，故函数g（x）=f（x）-x在区间（0，10）内所有零点的和为?1+2+3+…+9=45，故

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