四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＜CD，∠ABC＝90º，AB＝BC，E、F分别为BC、CD边上

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解决时间 2021-02-14 19:26

提问者网友：城市野鹿
2021-02-14 11:38

四边形ABCD中，AB∥CD，且AB＜CD，∠ABC＝90º，AB＝BC，E、F分别为BC、CD边上的点，且∠EAF＝45º。
（1）若∠AEF＝75º，AB＝12，BE＝5，求EF的长。
（2）求证：AB＋BE＝CF＋EF。
谢谢

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五星知识达人网友：青尢
2021-02-14 12:52

(1)勾股定理，AE=13，正弦定理，EF=13√6/3；
(2)(以下摘录自ZGMFx10仁兄）第二问有点麻烦，过A点做AH垂直CD于点H，延长CB至点G，使得BG=FH，连接A点，G点，则三角形ABG全等于三角形AHF（AB=BC=AH，BG=FH，∠GBA=90º=∠FHA）；
所以AG=AF，∠GAB=∠FAH，而∠FAH+∠BAE=45º，所以∠GAE=45º=∠FAE，又因为AG=AF，AE=AE，所以三角形GAE全等于三角形FAE，故有GE=FE，而GE=BE+BG=BE+FH=BE+AB-CF，所以有BE+AB=EF+CF

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1楼网友：迷人又混蛋
2021-02-14 13:42

由ab=12，be=5，有勾股定理得ae=13，过e点做eg垂直于af交af与点g，则由于∠eaf=45º;得eg=13/根号2，又因为∠eaf=45º;，∠aef=75º;，故∠efa=60º，因此ef=13*（根号6）/3。第二问有点麻烦，过a点做ah垂直cd于点h，延长cb至点g，使得bg=fh，连接a点，g点，则三角形abg全等于三角形ahf（ab=bc=ah，bg=fh，∠gba=90º=∠fha）；所以ag=af，∠gab=∠fah，而∠fah+∠bae=45º，所以∠gae=45º=∠fae，又因为ag=af，ae=ae，所以三角形gae全等于三角形fae，故有ge=fe，而ge=be+bg=be+fh=be+ab-cf，所以有be+ab=ef+cf

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