用长为12米的篱笆,一边利用足够的墙围出一块苗圃,如图26-3-16所示围出的苗圃是五边形ABCD,AE垂直AB,BC垂直AB,角C=角D=角E.设CD=DE=xm.五边形ABCDE的面积为S平方米问

用长为12米的篱笆,一边利用足够的墙围出一块苗圃,如图26-3-16所示围出的苗圃是五边形ABCD,AE垂直AB,BC垂直AB,角C=角D=角E.设CD=DE=xm.五边形ABCDE的面积为S平方米问当X取什么值时，S最大？并求出S的最大值

请参照附图。
∠C = ∠D = ∠E = 60度
△CDE是等边三角形，所以长方形ABCE的宽为x，高为:(12 - 2x)/2 = 6 - x
△CDE的高为:EDsin60 = (√3/2)x
五边形ABCDE的面积为:
S = x(6 - x) + (1/2)x×(√3/2)x
= (1/4)(√3 - 4)x^2 + 6x
= (-1/k)x^2 + 6x 【注:1/k = (1/4)(4 - √3)】
= (-1/k)(x^2 - 6kx)
= (-1/k)[x^2 - 6kx + (-3k)^2 - (-3k)^2]
= (-1/k)[(x - 3k)^2 - 9k^2]
当x = 3k = (4/13)(4 + √3)米时，面积S有极大值，极大值是
Smax = (-1/k)(-9k^2) = 9k = (36/13)(4 + √3)(平方米)

五边形的内角和=540度 所以，∠C=∠D=∠E=(540-90-90)/3=120度 CD=DE=x 则BC+AE=12-2x 连接CE 将五边形分成两块： 四边形ABCE为直角梯形（CE⊥AE时为特殊情况，是矩形） 三角形CDE为顶角∠D=120度，腰长CD=DE=x的等腰三角形 三角形CDE面积=1/2x^2*sin120=(√3/4)x^2 梯形面积=1/2(AE+BC)*AB=(6-x)*AB AB=CE*sin∠AEC 很明显，当CE⊥AE时sin∠AEC=sin90=1，AB此时最大=CE=√3x 此时ABCE为矩形，面积=(6-x)*√3x=6√3x-√3x^2 S=6√3x-√3x^2+(√3/4)x^2 =6√3x-(3√3/4)x^2 =-(3√3/4)(x^2-8x) =-(3√3/4)[(x-4)^2-16] 当x=4m时，S最大，=(3√3/4)*16=12√3 m^2

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