偏微分方程求解,如何求解偏微分方程

偏微分方程求解,如何求解偏微分方程

求解一道偏微分方程
ux+2uy-4u=e^(x+y）
边值条件：u（x,4x+2）=0
解：由于只有一阶偏微分,所以作线性变量代换
α=x+y（这是因为等号的右边含有x+y）
β=ax+by
由链式法则可知
?u/?x=?u/?α+a?u/?β
?u/?y=?u/?α+b?u/?β
代入原方程得
3?u/?α+(a+2b)?u/?β-4u=e^(x+y),这里将u看成关于α,β的函数
不妨取a=2,b=-1
那么α=x+y,β=2x-y
那么有3?u/?α-4u=e^α
这相当于关于α的一阶线性常微分方程
解得u=-e^α+Ce^(4α/3),其中C为关于β=2x-y的函数f(2x-y)
即u=-e^(x+y)+e^[4(x+y)/3]f(2x-y)
将边值条件代入得
f(-2-2x)=e^(-(2/3) - (5 x)/3)
因此f(x)=e^(1+(5x)/6)
代入u=-e^(x+y)+e^[4(x+y)/3]f(2x-y)得
u=e^(3x+y/2+1)-e^(x+y)

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