证明不等式的问题

已知a、b、m、n∈R⁺,证明：a^m+n+b^m+n≥a^mbⁿ+aⁿb^m

证明：

因为

a^(m+n)+b^(m+n)-(a^m×b^n+a^n×b^m)

=a^(m+n)-a^m×b^n-a^n×b^m+b^(m+n)

=a^m×a^n-a^m×b^n-a^n×b^m+b^n×b^m

=a^m×(a^n-b^n)-b^m×(a^n-b^n)

所以，a^(m+n)+b^(m+n)-(a^m×b^n+a^n×b^m)=(a^m-b^m)×(a^n-b^n)

因为a、b、m、n都是正实数

所以，

(1)当a>b时，a^m>b^m，a^n>b^n

即a^m-b^m>0，a^n-b^n>0，

此时a^(m+n)+b^(m+n)-(a^m×b^n+a^n×b^m)>0

(2)当a=b时，a^m=b^m，a^n=b^n

即a^m-b^m=0，a^n-b^n=0，

此时a^(m+n)+b^(m+n)-(a^m×b^n+a^n×b^m)=0

(3)当a<b时，a^m<b^m，a^n<b^n

即a^m-b^m<0，a^n-b^n<0，

此时a^(m+n)+b^(m+n)-(a^m×b^n+a^n×b^m)>0

综上所述，a^(m+n)+b^(m+n)-(a^m×b^n+a^n×b^m)≥0

即a^(m+n)+b^(m+n)≥a^m×b^n+a^n×b^m

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