已知圆M的圆心M在x轴上，直线l：y＝4/3x-1/2被圆M所截的弦长为根号3，且圆心M在直线l的下方，求圆M的方程

已知圆M的圆心M在x轴上，直线l：y＝4/3x-1/2被圆M所截的弦长为根号3，且圆心M在直线l的下方，求圆M的方程

圆M：（X－M)^2+y^2=R^2弦长公式：根号(1-k^2)((X1+X2)^2-4X1X2)圆和直线连立

(1) l：y=(4/3)x-1/2 ， 即：4x-3y- 3/2=0 设圆心m(a，0) 弦长的一半为√3/2，半径r=1 ∴m到直线l的距离d= √[r² - (√3/2)²]= 1/2 又：d=|4a - 3/2|/√(4²+3²) ∴d=|4a - 3/2|/5 =1/2 ∴a=1或 -1/4 即m(1，0)或(-1/4，0) 又∵m在直线l下方 ∴m(1，0) 即圆m：(x-1)²+y²=1 (2) 设ac斜率为k1，bc斜率为k2，则： 直线ac的方程为y=k1x+t，即k1x-y+t=0 直线bc的方程为y=k2x+t+6，即k2x-y+t+6=0 联立ac、bc，得： c点的横坐标为 x(c)=6/(k1-k2) ∵|ab|=t+6-t=6 ∴s=(1/2)·|ab|·|x(c)|=18/(k1-k2) (画个草图就知道k1＞k2，即k1-k2＞0) ∵ac、bc与圆m相切 ∴圆心m到ac的距离 d1= |k1+t|/√(k1²+1) = r =1，解得k1=(1-t²)/(2t) 圆心m到bc的距离 d2= |k2+t+6|/√(k2²+1) = r =1，解得k2=[1-(t+6)²]/[2(t+6)] ∴k1-k2=(1-t²)/(2t) - [1-(t+6)²]/[2(t+6)] = 3(t²+6t+1)/(t²+6t) ∴s=18/(k1-k2) (已证) =6(t²+6t)/(t²+6t+1) =6(t² + 6t + 1 -1 )/(t²+6t+1) =6 [ 1 - 1/(t²+6t+1) ] ∵-5≤t≤-2 ∴-2≤t+3≤1 ∴0≤(t+3)²≤4 ∴-8≤t²+6t+1＝ (t+3)²-8≤-4 ∴s(max)=6(1 + 1/4 )=15/2 s(min)=6(1 + 1/8)=27/4

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