已知函数f(x)={-x*2+2x(x≤0),㏑(x+1)(x>0)

已知函数f(x)={-x*2+2x(x≤0),㏑(x+1)(x>0)

x>0时

|f(x)|=ln(x+1)

x<=0时

|f(x)|=x^2-2x

当a=0时

|f(x)|恒≥0，成立

a>0

x>0时

|f(x)|=ln(x+1)是不可能恒≥ax，所以舍去

当a<0时

x>0时

满足ln(x+1)恒≥ax

x<=0时

|f'(x)|=2x-2

a>=|f'(0)|=-2

∴-2<=a<=0

a的取值范围是[-2,0]

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(1)令x2>x1>1,则f(x2)-f(x1)=(-x2^2+2x2)-(-x1^2+2x1)=(x2-x1)[2-(x2+x1)]

因为x2>x1>1，所以x2+x1>2,x2-x1>0,

所以f(x2)-f(x1)=(x2-x1)[2-(x2+x1)]<0,即f(x2)<f(x1)

所以f(x)在[1，+∞）上是减函数

(2)因为f(x)在[1，+∞）上是减函数,

所以当x∈[2,5]时，f(x)的最大值为f(2)=0,最小值为f(5)=-15

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