求证 lim (1+1/2+1/3+...+1/n)/n=0

求证 lim (1+1/2+1/3+...+1/n)/n=0

楼上不要乱说啦,调和级数下面不是还要除以一个n嘛证明：法一：对于数学基础比较好的人,或者参加过数学建模的人,或许知道如下式子：当n趋向于无穷大时：1+1/2+1/3+...+1/n=ln(n) + C其中C是欧拉常数,C约等于0.5772...于是本题轻而易举：lim (1+1/2+1/3+...+1/n)/n=lim [ln(n)+C]/n用罗比达法则：=lim (1/n)/1=0法二：本题是“无穷大/无穷大”的极限,直接用STOLZ定理.lim A(n)/B(n)=lim [A(n+1)-A(n)]/[B(n+1)-B(n)]所以原式=lim [1/(n+1)]/[(n+1)-n]=lim 1/(n+1)=0法三：如果不知道上面两个高级的公式,就老老实实证明：先证明lim [(1+1/2+1/3+...+1/n) - ln(n)]等于一个常数,再代入法一.我们就先来证明lim [(1+1/2+1/3+...+1/n) - ln(n)]等于一个常数.原式=lim (1+1/2+1/3+...+1/n) - ln[(2/1)*(3/2)*(4/3)*...*(n/(n-1))]=lim (1+1/2+1/3+...+1/n) - [ln(2/1)+ln(3/2)+...+ln(n/(n-1))]=lim 1 + [(1/2)-ln(1/2)] + [1/3-ln(3/2)] + ...+[1/n-ln(n/(n-1))]这是一个级数,把ln函数用泰勒级数展开,正好第一项会被前面的1/n消去,所以这个级数相当于(1/n^2),是收敛的.至此证明了“lim [(1+1/2+1/3+...+1/n) - ln(n)]等于一个常数”然后用法一就行了.

好好学习下

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