f(x)在x=0的领域内有二阶导数,又x→0时lim((sinx+xf(x))\x3)=1/2,求f

f(x)在x=0的领域内有二阶导数,又x→0时lim((sinx+xf(x))\x3)=1/2,求f

根据洛笔答法则,lim((sinx+xf(x))/x3)=lim((cosx+f(x)+x·f'(x))/3x²)若x→0时这个极限存在,则必有lim cosx+f(x)+x·f'(x)=0则cos0+f(0)=0f(0)=-1再进一步用洛笔答法则得lim((cosx+f(x)+x·f'(x))/3x²)=lim((-sinx+2f'(x)+x·f''(x))/6x)若x→0时这个极限存在,则必有lim -sinx+2f'(x)+x·f''(x)=0则f'(0)=0.则lim((-sinx+2f'(x)+x·f''(x))/6x)=(1/6) [lim(-sinx /x) +2lim f'(x)/x +lim f''(x)]=(1/6) [-1 +2lim (f'(x)-f'(0))/(x-0) + f''(0)]=(1/6) [-1 +2f''(0) + f''(0)]=(1/6) [-1 +3f''(0)]即(1/6) [-1 +3f''(0)]=1/2.则f''(0)=4/3

就是这个解释

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