化下列方程为齐次型方程并求通解(2y-x-5)dx-(2x-y+4)dy=0
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解决时间 2021-02-27 05:18
- 提问者网友：沦陷
- 2021-02-26 20:49
化下列方程为齐次型方程并求通解(2y-x-5)dx-(2x-y+4)dy=0
最佳答案
- 五星知识达人网友：低音帝王
- 2021-02-26 21:31
解：令y=n+2，x=m-1，则n=y-2，m=x+1，dy=dn，dx=dm
代入原方程，化简得 dn/dm=(2n-m)/(2mm-n).........(1)
令n=mt，则dn/dm=mdt/dm+t
代入齐次方程(1)，化简得mdt/dm=(t²-1)/(2-t)
==>(2-t)dt/(t²-1)=dm/m
==>[1/(t-1)-3/(t+1)]dt=2dm/m
==>ln│t-1│-3ln│t+1│=2ln│m│+ln│C│ (C是积分常数)
==>(t-1)/(t+1)³=Cm²
==>t-1=Cm²(t+1)³
==>n/m-1=Cm²(n/m+1)³
==>n-m=C(n+m)³
于是，齐次方程(1)的通解是n-m=C(n+m)³
==>y-x-3=C(y+x-1)³
故 原方程的通解是y-x-3=C(y+x-1)³。
代入原方程，化简得 dn/dm=(2n-m)/(2mm-n).........(1)
令n=mt，则dn/dm=mdt/dm+t
代入齐次方程(1)，化简得mdt/dm=(t²-1)/(2-t)
==>(2-t)dt/(t²-1)=dm/m
==>[1/(t-1)-3/(t+1)]dt=2dm/m
==>ln│t-1│-3ln│t+1│=2ln│m│+ln│C│ (C是积分常数)
==>(t-1)/(t+1)³=Cm²
==>t-1=Cm²(t+1)³
==>n/m-1=Cm²(n/m+1)³
==>n-m=C(n+m)³
于是，齐次方程(1)的通解是n-m=C(n+m)³
==>y-x-3=C(y+x-1)³
故 原方程的通解是y-x-3=C(y+x-1)³。
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- 1楼网友：思契十里
- 2021-02-26 23:02
x=2.5 y=5
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