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【 知识要点 】 －电势反映电场能的性质．电场力做功电势能减小，克服电场力做功电势能增加，电势：电场中某点处电荷的电势能‘与它的电量 q 之比值叫做场中该点的电势 U . 即
电势叠加原理：任意带电体电场中某点的电势，等于带电体上各部分电荷单独存在时，在该点产生电势的代数和．
电势差：电场中两点电势的差值．若场中 A , B 两点的电势分为ＵＡ，ＵＢ，则两点的电势差记作ＵＡＢ， ＵＡＢ＝ＵＡ－ＵＢ．
几种典型电场的电势
( l ）点电荷电势
如图所示，空间有一点电荷，电量为 Q ，先计算 AB两点的电势差．设 A , B 到 Q 的距离分别为 rA , rB ，把检验电荷 q 从 A 移到 B 电场力做功为 w ，由于是变力做功，不能直接求 w ，现把 A 刀分成 n 段，当 n 足够大时， W 可表示为
由电势差定义得
若以无穷远处为零电势，即把 rＢ →∞，ＵＢ ＝０．则
由于 A 是任意的，所以点电荷的电势为
( 2 ）均匀带电球壳电场的电势
与场强公式相类似，根据点电荷的电势，可得半径为Ｒ的均匀带电球壳电场的内、外电势分别为
【 例题分析 】
例 1 半径分别为 Rl 和 R２的两个同心球面均匀带电．电荷面密度分别为δ1 和δ2 ．试求： ( l ）大球面任一直径 AB 上的电势分布？ ( 2 ）如果过 AB 将两球各切掉一半，如图 9 一 3 一 2 所示，剩下两半球仍均匀带电，电荷面密度不变．直径 AB 上的电势分布又如何？
分析与解（ 1 ）由均匀带电球壳的电势分布可知：大球面均匀带电，因此它在球内产生的电势处处相等，有
小球面均匀带电，它在其球内和球外的电势
由电势叠加原理可得：直径 AB 上电势分布为
( 2 ）当通过直径 AB 将两个球面都切去一半时，因为剩下的半球面和切去的半球面相对 AB 是对称的，所以剩下的大（小）半球面对直径 A 刀上的电势的贡献仅为完整球面的一半．即
直径 AB 上的电势分布为
例 2 如图 9 一 3 一 3 所示，三根等长的细绝缘棒连接成等边三角形，尸点为三角形的内心， Q 点与三角形共面且与尸关于 AC 棒对称，三棒带有均匀分布的电荷，此时，测得Ｐ，Q 两点的电势各为ＵＰ， UＱ，现将 BＣ棒取走，而 AB , AC 棒的电荷分布不变，求这时Ｐ， Q 两点的电势．
分析与解
由于三棒带有均匀分布的电荷，所以三根棒对Ｐ点电势的贡献应相同，设为 Ｕl ．由对称性可知， AＣ 对 Q 点电势的贡献与它对Ｐ点电势的贡献应相等； BC 和ＢA 对 Q点电势的贡献也应相等，设为 U２．则电势叠加原理可得
由以上两式解得
取走 BC 棒后，Ｐ， Q 的电势为
【 巩固习题 】
1 ．有两个质量分别为 ml 和 m２的带电相同小球，每个球的电量为 Q ，开始时两个小球相距甚远，一个以初速 v 向另一个运动，而另一个初速为 O ，假定作用在小球上的惟一的力是小球间的静电斥力，求两个小球能接近的最小距离．
2 . N 个相同的球形水银液滴，都带有相同的电量，具有相同的电势 U ，如果这些水银聚集在一起成一个大的水银滴，这个大水银滴的电势多大？
3 ．如图 9 一 3 一 4 所示，半径为 R２的导电球壳包围半径为 Rl 的金属球，金属球原来具有电势 Ul ．如果让球壳接地，那么金属球的电势变为多少？
4 ．正点电荷 Ql 和 Q２分别置于 A , B 两点，相距为 L ，现以 L 为直径作半圆，如图 9 一 3 一 5 所示，试求在此半圆上电势最低点Ｐ的位置，
5 一个半径为 a 的孤立的带电金属丝环，其中心处电势为 U０．将此环靠近半径为 b 的接地的球，只有环中心点位于球面上，如图 9 一 3 一 6 ．试求球上感应电荷的电量．
6 ．如图 9 一 3 一 7 所示，点电荷十 Q 位于金属球壳的中心，金属球壳的内、外半径分别为Ｒ1 , R２，球壳所带的净电荷为零．若在无限处电势为零，求 A , B 两点的电场强度和电势的大小．
7 ．如图 9 一 3 一 8 所示，半径分别为 Rl 与 R２的两个同心半球面相对放置，两个半球均匀带电，电荷面密度分别为δ1 和δ２，试求大的半球面所对应底面直径 AOB 上电势分布．
8 ．电荷 q 均匀分布在半球面 ACB 上，球面的半径为 R , CD为通过半球顶点 C 与球心 O 的轴线，如图 9 一 3 一 9 所示．Ｐ、 Q 为 CD 轴线上在 O 点两侧．已知Ｐ点的电势为 UＰ，离 O 点距离相等的两点．试求 Q 点的电势 UQ ．
9 ．如图 9 一 3 一 10 所示，在真空中有 4 个半径为 a 的不带电的相同导体球，球心分别位于边长为 r ( r 》ａ）的正方形的四个顶点上．首先，让球 1 带电荷 Q ( Q > 0 ) ，然后取一细金属丝，其一端固定于球 1 上，另一端分别依次与球 2 、 3 、 4 、大地接触，每次接触时间都足以使它们达到静电平衡．设分布在细金属丝上的电荷可忽略不计．试求流人大地的电量的表达式．
10 ．两个互相绝缘的同心导体薄球壳，内球壳半径为r１，外球壳半径为 r2 ．开始时内球壳带电量为 Q ，外球壳不带电．
( l ）试求外球壳内、外两个侧面的电荷及外球壳的电势；
( 2 ）将外球壳接地后再与地绝缘，计算此时外球壳内、外两侧面的电荷；
( 3 ）再将内球壳接地，求此时内球壳的总电量．
11 ．点电荷＋ Q 附近有一半径为 R 的导体球，球心到点电荷 Q 的距离为 d ，如图 9 ?C ３－１１ 所示．求： ( 1 ）当导体球接地时，感应电荷 Q ' ; ( 2 ）当导体球不接地时它的电势 U .
12 ．真空中，有五个电量均为 q 的均匀带电薄球壳，他们的半径分别为 R , R / 2 , R / 4 , R / 8 , R / l6 ，彼此内切于Ｐ点，如图 9 一 3 一 12 所示．球心分别为 Ｏ1 , Ｏ2 , Ｏ3 , Ｏ4 ,Ｏ5 ，求Ｏ1 与 Ｏ5 间的电势差．
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